Две стороны треугольника равны 3 и 6 а угол между ними равен 120°. найдите его площадь и третью сторону.

Площадь треугольника равна 4.5, а третья сторона - 3√3.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними.

1. Сначала найдем третью сторону треугольника, обозначим её ( c ).

По теореме косинусов: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

Подставляем значения: [ a = 3, \ b = 6, \ \gamma = 120^\circ ]

Зная, что (\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}), получаем: [ c^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) ] [ c^2 = 9 + 36 + 18 ] [ c^2 = 63 ] [ c = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( 3\sqrt{7} ).

1. Теперь найдем площадь треугольника. Для этого используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: [ S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) ]

Зная, что (\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = \frac{18\sqrt{3}}{2} ] [ S = 9\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь треугольника равна ( 9\sqrt{3} ).

Итак, третья сторона треугольника равна ( 3\sqrt{7} ), а его площадь составляет ( 9\sqrt{3} ).

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) a b * sin(γ),

где S - площадь треугольника, а и b - длины сторон, γ - угол между сторонами.

Известно, что a = 3, b = 6 и γ = 120°. Подставим значения в формулу:

S = (1/2) 3 6 sin(120°) = (1/2) 18 * √3 / 2 = 9√3.

Таким образом, площадь треугольника равна 9√3.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ),

где c - третья сторона треугольника.

Подставим известные значения:

c^2 = 3^2 + 6^2 - 2 3 6 cos(120°) = 9 + 36 - 36 (-1/2) = 45,

c = √45 = 3√5.

Таким образом, третья сторона треугольника равна 3√5.