Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскостей угол 60 градусов. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскостей угол 60 градусов. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.
Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длину искомого отрезка прямой как х.
Так как прямая образует с каждой плоскостью угол 60 градусов, то треугольник, образованный этой прямой и отрезками, проведенными от концов отрезка до точек пересечения с плоскостями, является равносторонним. Значит, длина этих отрезков также равна х.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком прямой, высотой между плоскостями и гипотенузой (расстоянием между плоскостями). Из этого треугольника получаем, что:
cos(60 градусов) = х / 2 х = 2 cos(60 градусов) х = 2 0,5 х = 1 дм
Таким образом, длина отрезка прямой, заключенного между плоскостями, равна 1 дециметру.
Рассмотрим две параллельные плоскости, обозначим их как ( \alpha ) и ( \beta ). Расстояние между этими плоскостями равно 2 дм. Пусть прямая ( l ) пересекает обе плоскости под углом 60 градусов.
Наша задача — найти длину отрезка прямой ( l ), который заключён между плоскостями ( \alpha ) и ( \beta ).
Для этого используем тригонометрические соотношения. Прямая пересекает плоскость под углом, и нам известно расстояние между плоскостями. В данном случае это расстояние можно рассматривать как перпендикулярный отрезок между двумя плоскостями.
Пусть ( d ) — длина отрезка прямой ( l ) между плоскостями. Зная угол ( \theta = 60^\circ ) между прямой и плоскостью, можно использовать основное тригонометрическое соотношение для косинуса в прямоугольном треугольнике:
[ \cos \theta = \frac{\text{перпендикулярный отрезок}}{\text{гипотенуза}} ]
В нашем случае:
[ \cos 60^\circ = \frac{2 \, \text{дм}}{d} ]
Поскольку ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ), уравнение становится:
[ \frac{1}{2} = \frac{2}{d} ]
Отсюда, умножив обе стороны уравнения на ( d ) и затем на 2, получаем:
[ d = 4 \, \text{дм} ]
Таким образом, длина отрезка прямой ( l ), заключённого между плоскостями, составляет 4 дм.
Длина отрезка прямой, заключенного между плоскостями, равна 2√3 дм.
