Докажите,что векторы BA и BC перпендикулярны , если A(0;1),B(2;-1),C(4;1)

Чтобы доказать, что два вектора ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю. Напомним, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Даны точки:

• Точка ( A(0; 1) ),
• Точка ( B(2; -1) ),
• Точка ( C(4; 1) ).

Теперь найдём координаты векторов ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ).

Найдём координаты векторов:

Координаты вектора ( \vec{BA} ) вычисляются как разность соответствующих координат конечной точки ( A ) и начальной точки ( B ): [ \vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (0 - 2; 1 - (-1)) = (-2; 2). ]

Координаты вектора ( \vec{BC} ) вычисляются аналогично: [ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 2; 1 - (-1)) = (2; 2). ]

Итак: [ \vec{BA} = (-2; 2), \quad \vec{BC} = (2; 2). ]

Скалярное произведение векторов:

Формула для скалярного произведения двух векторов ( \vec{u} = (x_1; y_1) ) и ( \vec{v} = (x_2; y_2) ) имеет вид: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2. ]

Подставим координаты ( \vec{BA} = (-2; 2) ) и ( \vec{BC} = (2; 2) ) в формулу: [ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0. ]

Вывод:

Скалярное произведение ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 ). Это означает, что векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что ( \vec{BA} \perp \vec{BC} ).

Векторы BA и BC можно выразить через координаты точек A, B и C:

1. Вектор BA = A - B = (0 - 2; 1 - (-1)) = (-2; 2).
2. Вектор BC = C - B = (4 - 2; 1 - (-1)) = (2; 2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов BA и BC:

[ BA \cdot BC = (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0. ]

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы BA и BC перпендикулярны.

Чтобы доказать, что векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) перпендикулярны, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) можно найти, используя координаты точек ( A ), ( B ) и ( C ).

1. Найдем вектор ( \vec{BA} ):

   Вектор ( \vec{BA} ) можно найти как разность координат точек ( A ) и ( B ):

   [ \vec{BA} = A - B = (0 - 2, 1 - (-1)) = (-2, 2) ]

2. Найдем вектор ( \vec{BC} ):

   Аналогично, вектор ( \vec{BC} ) можно найти как разность координат точек ( C ) и ( B ):

   [ \vec{BC} = C - B = (4 - 2, 1 - (-1)) = (2, 2) ]

3. Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ):

   Скалярное произведение двух векторов ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) вычисляется по формуле:

   [ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 ]

   Подставим найденные векторы:

   [ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0 ]

4. Вывод:

   Поскольку скалярное произведение векторов ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Таким образом, мы доказали, что векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) перпендикулярны.