Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.

Для доказательства равенства прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведенной к другому катету, рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и ABD, где AC и AD - катеты, а BC и BD - гипотенузы.

Пусть M - середина гипотенузы BC, а N - точка пересечения медианы AM и гипотенузы BD.

Так как AM - медиана треугольника ABC, то точка M делит гипотенузу BC пополам, то есть BM = MC.

Также, так как треугольник ABC прямоугольный, то AM - медиана прямоугольного треугольника ABC, а значит, AM является высотой и делит гипотенузу BC пополам.

Из свойств треугольников мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. Следовательно, MB = MC = MD.

Таким образом, треугольники ABC и ABD равны по катету и медиане, проведенной к другому катету.

Для доказательства равенства двух прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету, воспользуемся следующими обозначениями и шагами.

Обозначения

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ) с прямыми углами при вершинах ( C ) и ( F ) соответственно. Пусть ( AB ) и ( DE ) — гипотенузы этих треугольников, ( AC ) и ( DF ) — катеты, к которым проведены медианы ( CM ) и ( FN ) соответственно, а ( BC ) и ( EF ) — другие катеты.

Дано

1. ( AC = DF ) (одинаковые катеты).
2. ( CM = FN ) (одинаковые медианы, проведённые к другим катетам).

Цель

Доказать, что ( \triangle ABC \cong \triangle DEF ) (то есть, треугольники равны).

Доказательство

1. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Однако в нашем случае медианы проведены к катетам, поэтому это свойство не применимо напрямую, но важно помнить, что медиана в любом треугольнике делит противоположную сторону на два равных отрезка.

2. Свойство прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике гипотенуза ( AB ) связана с катетами ( AC ) и ( BC ) через теорему Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} ] Аналогично, [ DE = \sqrt{DF^2 + EF^2} ]

3. Использование медиан: Рассмотрим медианы ( CM ) и ( FN ) в треугольниках ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ) соответственно. Поскольку медианы делят катеты на два равных отрезка, мы можем записать: [ CM = FN ] Мы знаем, что медиана делит противоположную сторону на два равных отрезка, значит: [ BM = \frac{BC}{2} \quad \text{и} \quad EN = \frac{EF}{2} ]

4. Докажем равенство гипотенуз: Рассмотрим треугольники ( \triangle ACM ) и ( \triangle DFN ). В этих треугольниках:

   • ( AC = DF ) по условию.
   • ( CM = FN ) по условию.
   • ( \angle ACM = \angle DFN = 90^\circ ).

   Следовательно, по теореме Пифагора: [ AM = \sqrt{AC^2 + CM^2} \quad \text{и} \quad DN = \sqrt{DF^2 + FN^2} ] Поскольку ( AC = DF ) и ( CM = FN ), то ( AM = DN ).

5. Применение теоремы о равенстве треугольников: В треугольниках ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ):

   • ( AC = DF ) по условию.
   • ( CM = FN ) по условию.
   • ( AM = DN ) (как доказано выше).

   Значит, по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: [ \triangle ABC \cong \triangle DEF ]

Таким образом, прямоугольные треугольники ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ) равны по катету и медиане, проведенной к другому катету.