Докажите пожалуйста теорему: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая,...

Для доказательства теоремы о касательной и секущей, проведенных из одной точки вне окружности, используем свойства степеней точки относительно окружности. Рассмотрим окружность с центром O и точку M, лежащую вне этой окружности. Проведем из точки M касательную MC и секущую MAB, пересекающую окружность в точках A и B.

1. Построение и обозначения:

   • Пусть M — точка вне окружности.
   • MC — касательная к окружности, касающаяся в точке C.
   • MAB — секущая, пересекающая окружность в точках A и B, где точка A ближе к M, чем точка B.

2. Используем теорему о степени точки: Теорема о степени точки гласит, что для любой точки M вне окружности произведение отрезков секущей, выходящих из этой точки, равно квадрату длины касательной, проведенной из этой точки. То есть: $M{C}^2=MA\cdot MB.$

3. Доказательство: Рассмотрим треугольники $\mathrm{△}MOC$ и $\mathrm{△}MOA$, где O — центр окружности.

   • Треугольник $\mathrm{△}MOC$ прямоугольный, так как радиус OC перпендикулярен касательной MC в точке касания C.
   • Обозначим радиус окружности через r и расстояние от точки M до центра O через d.

4. Касательная:

   • По теореме Пифагора в треугольнике $\mathrm{△}MOC$: $M{O}^2=M{C}^2+O{C}^2.$
   • Поскольку OC = r, то: $M{O}^2=M{C}^2+r^2.$

5. Секущая:

   • Пусть MA = x и MB = y. Следовательно, длина отрезка AB будет равна $y-x$.
   • В треугольнике $\mathrm{△}MOA$: $M{O}^2=M{A}^2+O{A}^2.$
   • Поскольку A лежит на окружности, OA = r и $\mathrm{△}MOA$ — прямоугольный: $M{O}^2=M{A}^2+r^2.$

6. Равенство степеней:

   • Из равенства степеней точки M относительно окружности, мы имеем: $M{C}^2=MA\cdot MB.$
   • Подставим MA и MB: $M{C}^2=x\cdot y.$

7. Заключение: Таким образом, мы доказали, что квадрат длины касательной MC равен произведению длины секущей MAB на ее внешнюю часть MA: $M{C}^2=MA\cdot MB.$

Это завершает наше доказательство данной теоремы.

Для доказательства данной теоремы воспользуемся свойствами касательной к окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке O. Пусть точка M лежит вне окружности, а касательная и секущая проходят через эту точку и касаются окружности в точках A и B соответственно.

Так как касательная и радиус окружности перпендикулярны в точке касания, то угол OMA прямой. Также угол AMB также прямой, так как он образуется хордой и радиусом окружности.

Из прямоугольного треугольника OMA получаем, что MC² = MA² + OA², где OA - радиус окружности.

Из прямоугольного треугольника AMB получаем, что AB² = AM² + MB².

Так как AB - секущая, то AB = AM + MB.

Подставляем AB в уравнение треугольника AMB: $AM+MB$² = AM² + MB² + 2AM•MB.

Разложим квадрат суммы: AM² + 2AM•MB + MB² = AM² + MB² + 2AM•MB.

Сокращаем AM² и MB²: 2AM•MB = 2AM•MB.

Таким образом, получаем, что MC² = MA² + OA² = MA² + MB² + 2AM•MB = MA² • MB.

Таким образом, теорема доказана.