Докажите, что векторы m=a+2b+3c, n=2a-b-c, p=3a-4b-5c компланарны. Обязательно с подробным объяснением....

Для доказательства компланарности векторов m, n, p нам нужно показать, что их линейная комбинация равна нулевому вектору.

Давайте найдем линейную комбинацию векторов m, n, p: λm + μn + νp = 0

где λ, μ, ν - коэффициенты, которые мы должны найти.

Подставим векторы m, n, p в данное уравнение: λ(a+2b+3c) + μ(2a-b-c) + ν(3a-4b-5c) = 0

Раскроем скобки: (λa + 2μa + 3νa) + (2λb - μb - 4νb) + (3λc - μc - 5νc) = 0

Соберем коэффициенты при каждом векторе: (λ + 2μ + 3ν)a + (2λ - μ - 4ν)b + (3λ - μ - 5ν)c = 0

Теперь составим систему уравнений: 1) λ + 2μ + 3ν = 0 2) 2λ - μ - 4ν = 0 3) 3λ - μ - 5ν = 0

Решим данную систему уравнений. Можно заметить, что 3-е уравнение является суммой 1-го и 2-го. Это говорит о том, что векторы m, n, p компланарны, так как их линейная комбинация равна нулевому вектору.

Таким образом, векторы m, n, p компланарны.

Чтобы доказать, что векторы ( \mathbf{m} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} ), ( \mathbf{n} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c} ) и ( \mathbf{p} = 3\mathbf{a} - 4\mathbf{b} - 5\mathbf{c} ) компланарны, можно использовать метод выражения одного из векторов через два других. Векторы компланарны, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других.

Шаг 1: Выразим вектор (\mathbf{p}) через (\mathbf{m}) и (\mathbf{n})

Попробуем выразить (\mathbf{p}) как линейную комбинацию (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}): [ \mathbf{p} = \alpha \mathbf{m} + \beta \mathbf{n} ]

Где (\alpha) и (\beta) — некоторые коэффициенты. Подставляем выражения для (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) в это уравнение: [ 3\mathbf{a} - 4\mathbf{b} - 5\mathbf{c} = \alpha (\mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c}) + \beta (2\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c}) ]

Рассмотрим эту систему по компонентам (\mathbf{a}), (\mathbf{b}) и (\mathbf{c}):

1. Компонента по (\mathbf{a}): [ 3 = \alpha + 2\beta ]
2. Компонента по (\mathbf{b}): [ -4 = 2\alpha - \beta ]
3. Компонента по (\mathbf{c}): [ -5 = 3\alpha - \beta ]

Шаг 2: Решим систему уравнений

Решим систему уравнений для (\alpha) и (\beta):

1. ( \alpha + 2\beta = 3 )
2. ( 2\alpha - \beta = -4 )
3. ( 3\alpha - \beta = -5 )

Решим систему уравнений:

Из второго уравнения выразим (\beta): [ \beta = 2\alpha + 4 ]

Подставим это выражение в первое уравнение: [ \alpha + 2(2\alpha + 4) = 3 ] [ \alpha + 4\alpha + 8 = 3 ] [ 5\alpha + 8 = 3 ] [ 5\alpha = -5 ] [ \alpha = -1 ]

Теперь подставим (\alpha = -1) в выражение для (\beta): [ \beta = 2(-1) + 4 ] [ \beta = -2 + 4 ] [ \beta = 2 ]

Шаг 3: Проверим решение

Подставим найденные значения (\alpha) и (\beta) в третье уравнение: [ 3(-1) - 2 = -5 ] [ -3 - 2 = -5 ] [ -5 = -5 ]

Уравнение выполняется, что подтверждает правильность найденных значений.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что вектор (\mathbf{p}) можно выразить как линейную комбинацию векторов (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}): [ \mathbf{p} = -\mathbf{m} + 2\mathbf{n} ]

Следовательно, векторы ( \mathbf{m} ), ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{p} ) компланарны.