. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходствен­ных...

Для доказательства этого факта, рассмотрим два подобных треугольника ABC и A'B'C'. Пусть AB и A'B' - сходственные стороны, а AD и A'D' - сходственные биссектрисы этих треугольников.

Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то у них соответствующие углы равны. Пусть α и α' - углы при вершине A, тогда углы при вершине B и B' равны β и β', а углы при вершине C и C' равны γ и γ'.

Из теории подобных треугольников известно, что отношение сходственных сторон треугольников равно отношению синусов соответствующих углов. То есть:

AB / A'B' = sin$\gamma$ / sin${\gamma }^{\prime }$

Также известно, что отношение сходственных биссектрис треугольников также равно отношению синусов соответствующих углов. Имеем:

AD / A'D' = sin$\beta$ / sin${\beta }^{\prime }$

Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то их углы равны, следовательно, sin$\beta$ / sin${\beta }^{\prime }$ = sin$\gamma$ / sin${\gamma }^{\prime }$. Таким образом, отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис в подобных треугольниках.

Чтобы доказать, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис, воспользуемся свойствами подобных треугольников и свойствами биссектрис.

Рассмотрим два подобных треугольника $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, где $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Это означает, что соответствующие углы этих треугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}=k$

где $k$ — коэффициент подобия.

Теперь рассмотрим биссектрисы углов треугольников. Пусть $AD$ и $A^{\prime }{D}^{\prime }$ — биссектрисы углов $\mathrm{\angle }BAC$ и $\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ соответственно. Нам нужно доказать, что:

$\frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=k$

Воспользуемся теоремой о биссектрисе, которая гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть для $\mathrm{△}ABC$:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Аналогично для $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$:

$\frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

Поскольку треугольники подобны, мы имеем пропорции:

$\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

Теперь рассмотрим треугольники $\mathrm{△}ABD$ и $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Эти треугольники также подобны по двум углам: $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ $таккакэтоуглыпривершине(A$ и $A^{\prime }$) и $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ $таккакуглыприбиссектрисах(\mathrm{\angle }A$ и $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }$).

Следовательно, треугольники $\mathrm{△}ABD\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$, и мы можем записать:

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BD}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}$

Поскольку $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k$, то и $\frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=k$.

Аналогично можно рассмотреть биссектрисы других углов и убедиться, что это отношение сохраняется для всех биссектрис соответствующих углов подобных треугольников.

Таким образом, мы доказали, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис.