. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходствен­ных...

Для доказательства этого факта, рассмотрим два подобных треугольника ABC и A'B'C'. Пусть AB и A'B' - сходственные стороны, а AD и A'D' - сходственные биссектрисы этих треугольников.

Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то у них соответствующие углы равны. Пусть α и α' - углы при вершине A, тогда углы при вершине B и B' равны β и β', а углы при вершине C и C' равны γ и γ'.

Из теории подобных треугольников известно, что отношение сходственных сторон треугольников равно отношению синусов соответствующих углов. То есть:

AB / A'B' = sin(γ) / sin(γ')

Также известно, что отношение сходственных биссектрис треугольников также равно отношению синусов соответствующих углов. Имеем:

AD / A'D' = sin(β) / sin(β')

Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то их углы равны, следовательно, sin(β) / sin(β') = sin(γ) / sin(γ'). Таким образом, отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис в подобных треугольниках.

Чтобы доказать, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис, воспользуемся свойствами подобных треугольников и свойствами биссектрис.

Рассмотрим два подобных треугольника (\triangle ABC) и (\triangle A'B'C'), где (\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'). Это означает, что соответствующие углы этих треугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны:

[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k ]

где (k) — коэффициент подобия.

Теперь рассмотрим биссектрисы углов треугольников. Пусть (AD) и (A'D') — биссектрисы углов (\angle BAC) и (\angle B'A'C') соответственно. Нам нужно доказать, что:

[ \frac{AD}{A'D'} = k ]

Воспользуемся теоремой о биссектрисе, которая гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть для (\triangle ABC):

[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} ]

Аналогично для (\triangle A'B'C'):

[ \frac{B'D'}{D'C'} = \frac{A'B'}{A'C'} ]

Поскольку треугольники подобны, мы имеем пропорции:

[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} ]

Теперь рассмотрим треугольники (\triangle ABD) и (\triangle A'B'D'). Эти треугольники также подобны по двум углам: (\angle BAD = \angle B'A'D') (так как это углы при вершине (A) и (A')) и (\angle ABD = \angle A'B'D') (так как углы при биссектрисах (\angle A) и (\angle A')).

Следовательно, треугольники (\triangle ABD \sim \triangle A'B'D'), и мы можем записать:

[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BD}{B'D'} = \frac{AD}{A'D'} ]

Поскольку (\frac{AB}{A'B'} = k), то и (\frac{AD}{A'D'} = k).

Аналогично можно рассмотреть биссектрисы других углов и убедиться, что это отношение сохраняется для всех биссектрис соответствующих углов подобных треугольников.

Таким образом, мы доказали, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис.