Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют...

Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, и найти его площадь, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти длины сторон треугольника: Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

   Рассчитаем длины сторон:

   • Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{((-2) - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]

   • Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} ]

   • Длина стороны AC: [ AC = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} ]

   Из расчетов видно, что длины сторон AB и BC равны: [ AB = BC = \sqrt{13} ] Следовательно, треугольник АВС равнобедренный.

2. Найти площадь треугольника: Для нахождения площади треугольника по координатам его вершин можно использовать формулу площади треугольника через координаты: [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]

   Подставим координаты точек A(-4, 1), B(-2, 4), C(1, 2): [ S = \frac{1}{2} \left| (-4)(4 - 2) + (-2)(2 - 1) + 1(1 - 4) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| (-4)(2) + (-2)(1) + 1(-3) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| -8 - 2 - 3 \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| -13 \right| ] [ S = \frac{1}{2} \times 13 = 6.5 ]

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВС равнобедренный, и его площадь составляет 6.5 квадратных единиц.

Для доказательства равнобедренности треугольника АВС, необходимо убедиться, что длины двух его сторон равны. Для этого вычислим длины сторон треугольника АВС:

1. Сторона АВ: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

2. Сторона АС: AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) = √((1 - (-4))^2 + (2 - 1)^2) = √(5^2 + 1^2) = √(25 + 1) = √26

3. Сторона ВС: BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = √((1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2) = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13

Таким образом, стороны АВ и ВС равны между собой, что доказывает равнобедренность треугольника АВС.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:

S = 0.5 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| = 0.5 |-4(4 - 2) + (-2)(2 - 1) + 1(1 - 4)| = 0.5 |-8 - 2 - 3| = 0.5 |-13| = 0.5 * 13 = 6.5

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника АВС равна 6.5 квадратных единиц.