Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Докажите,...

1. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, так как в правильном шестиугольнике все стороны и радиусы описанной окружности равны между собой.

2. Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник, равен половине его стороны, так как в правильном четырехугольнике радиус окружности делит сторону на две равные части.

Докажем два утверждения о правильных многоугольниках.

1. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник можно представить как состоящий из шести равносторонних треугольников, соединенных вершинами в центре окружности. Пусть сторона шестиугольника равна ( a ).

• Поскольку каждый из этих треугольников равносторонний, их все стороны равны ( a ).
• Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из его вершин. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести и высотой треугольника.
• Высота ( h ) равностороннего треугольника равна (\frac{\sqrt{3}}{2}a).
• Однако, радиус описанной окружности равен (\frac{2}{3}) высоты равностороннего треугольника и совпадает с его стороной, потому что центр окружности совпадает с вершинами шестиугольника.

Следовательно, радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне ( a ).

2. Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника

Правильный четырехугольник — это квадрат. Пусть его сторона равна ( a ).

• Радиус вписанной окружности квадрата равен расстоянию от центра квадрата до середины его стороны, поскольку окружность касается всех четырех сторон.
• Центр квадрата находится на пересечении его диагоналей, и каждая диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
• Длина диагонали квадрата равна ( a\sqrt{2} ), и центр квадрата находится в ее середине.
• Поскольку центр окружности совпадает с центром квадрата, а окружность касается стороны квадрата в ее середине, радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть (\frac{a}{2}).

Таким образом, радиус вписанной окружности правильного четырехугольника (квадрата) равен половине его стороны.

Надеюсь, это объяснение было полезным!

Для доказательства радиуса окружности, описанной около правильного шестиугольника, равного его стороне, рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF и проведем прямые от центра окружности O до вершин шестиугольника. Таким образом, мы получим шесть равносторонних треугольников OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA. В каждом из этих треугольников сторона шестиугольника будет равна радиусу окружности. Таким образом, радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне.

Для доказательства радиуса окружности, вписанной в правильный четырехугольник, равного половине его стороны, рассмотрим правильный четырехугольник ABCD. Проведем биссектрисы углов четырехугольника, которые пересекутся в точке O - центре вписанной окружности. Таким образом, получим четыре равнобедренных треугольника OAB, OBC, OCD, ODA. В каждом из этих треугольников сторона четырехугольника будет равна двум радиусам окружности. Следовательно, радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник, равен половине его стороны.