Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон прямоугольника. Пожалуйста...

Чтобы доказать, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом, давайте рассмотрим прямоугольник ( ABCD ) и обозначим его стороны и вершины. Пусть ( A, B, C, D ) — вершины прямоугольника, расположенные по часовой стрелке.

1. Определение вершин:

   • ( M ) — середина отрезка ( AB ),
   • ( N ) — середина отрезка ( BC ),
   • ( P ) — середина отрезка ( CD ),
   • ( Q ) — середина отрезка ( DA ).

2. Координатное представление: Для удобства давайте расположим прямоугольник на координатной плоскости:

   • ( A(x_1, y_1) )
   • ( B(x_2, y_1) )
   • ( C(x_2, y_2) )
   • ( D(x_1, y_2) )

   Теперь найдем координаты точек ( M, N, P, ) и ( Q ):

   • ( M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, y_1 \right) )
   • ( N \left( x_2, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) )
   • ( P \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, y_2 \right) )
   • ( Q \left( x_1, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) )

3. Докажем, что все стороны равны: Вычислим длины сторон четырехугольника ( MNPQ ).

   • Длина ( MN ): [ MN = \sqrt{\left( x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 + y_2}{2} - y_1 \right)^2 } ] [ = \sqrt{\left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 - y_1}{2} \right)^2 } ]

   • Длина ( NP ): [ NP = \sqrt{\left( \frac{x_1 + x_2}{2} - x_2 \right)^2 + \left( y_2 - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2 } ] [ = \sqrt{\left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 - y_1}{2} \right)^2 } ]

   • Длина ( PQ ): [ PQ = \sqrt{\left( x_1 - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 + y_2}{2} - y_2 \right)^2 } ] [ = \sqrt{\left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 - y_1}{2} \right)^2 } ]

   • Длина ( QM ): [ QM = \sqrt{\left( \frac{x_1 + x_2}{2} - x_1 \right)^2 + \left( y_1 - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2 } ] [ = \sqrt{\left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 - y_1}{2} \right)^2 } ]

   Все стороны равны, так как имеют одинаковую длину: [ MN = NP = PQ = QM = \sqrt{\left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 - y_1}{2} \right)^2 } ]

4. Вывод: Мы показали, что все стороны четырехугольника ( MNPQ ) равны, следовательно, этот четырехугольник является ромбом. Это доказывает, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, всегда является ромбом.

Для доказательства того, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограммов и прямоугольников.

Пусть у нас есть прямоугольник ABCD, где A, B, C и D - вершины прямоугольника, а E, F, G и H - середины его сторон.

Первым шагом мы можем доказать, что EFHG - параллелограмм. Это следует из того, что середины сторон прямоугольника делят его стороны пополам, что означает, что EF || AB, FG || BC, GH || CD и HE || DA. Таким образом, все стороны параллелограмма EFHG параллельны попарно.

Далее, мы можем доказать, что EF = FG = GH = HE. Это следует из того, что стороны параллелограмма, соединяющие середины сторон прямоугольника, равны по определению серединного перпендикуляра. Таким образом, EF = FG = GH = HE.

Так как у параллелограмма EFHG противоположные стороны равны и его диагонали пересекаются в прямом угле (по свойству прямоугольника), то мы можем заключить, что четырехугольник EFHG является ромбом.

Таким образом, доказано, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом.