Доказать что если диагонали прямоугольника перпендикулярны то он является квадратом

Чтобы доказать, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом, давайте рассмотрим основные свойства прямоугольника и воспользуемся аналитическим методом.

1. Свойства прямоугольника:

   • Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по 90 градусов).
   • Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам.

2. Пусть ABCD — прямоугольник:

   • Обозначим координаты вершин прямоугольника: A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
   • Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая является их серединой.

3. Определение уравнений диагоналей:

   • Уравнение диагонали AC: ( y = \frac{b}{a}x ).
   • Уравнение диагонали BD: ( y = -\frac{b}{a}x + b ).

4. Условие перпендикулярности диагоналей:

   • Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1.

   Проверим угловые коэффициенты:

   • Угловой коэффициент диагонали AC: ( m_1 = \frac{b}{a} ).
   • Угловой коэффициент диагонали BD: ( m_2 = -\frac{b}{a} ).

   Проверим произведение угловых коэффициентов: ( m_1 \cdot m_2 = \frac{b}{a} \cdot -\frac{b}{a} = -\left(\frac{b}{a}\right)^2 ).

   Для диагоналей быть перпендикулярными, должно выполняться: ( -\left(\frac{b}{a}\right)^2 = -1 ).

   Упростим это выражение: ( \left(\frac{b}{a}\right)^2 = 1 ).

   Отсюда: ( \frac{b}{a} = 1 ) или ( \frac{b}{a} = -1 ).

   Поскольку ( b ) и ( a ) — длины сторон прямоугольника и они не могут быть отрицательными, остаётся: ( \frac{b}{a} = 1 ).

   Это означает: ( b = a ).

5. Вывод:

   • Если ( b = a ), то стороны прямоугольника равны.
   • Прямоугольник с равными сторонами — это квадрат.

Таким образом, мы доказали, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Для доказательства того, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть дан прямоугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD перпендикулярны.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Поскольку диагонали перпендикулярны, то угол ABC равен углу CDA (вертикальные углы).
3. Также угол BAC равен углу DAC (по условию прямоугольника).
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что треугольники ABC и CDA равны по двум углам и стороне AC (общей гипотенузе).
5. Следовательно, сторона AB равна стороне CD, что означает, что прямоугольник ABCD является равнобедренным.
6. Так как прямоугольник ABCD является равнобедренным и прямоугольником, то он является квадратом.

Таким образом, если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он обязательно является квадратом.