Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна 42 см. Вычислите его площадь.

Для начала определим другие стороны треугольника. Поскольку он равнобедренный, то катеты равны между собой: ( a = b ). Используем теорему Пифагора для вычисления длины катетов: [ a^2 + b^2 = c^2 ] [ a^2 + a^2 = 42^2 ] [ 2a^2 = 1764 ] [ a^2 = 882 ] [ a = b = \sqrt{882} \approx 29,7 \, \text{см} ]

Теперь можем вычислить площадь прямоугольного треугольника по формуле: [ S = \frac{ab}{2} ] [ S = \frac{29,7 \cdot 29,7}{2} ] [ S \approx 441,45 \, \text{см}^2 ]

Ответ: Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна примерно 441,45 квадратных сантиметров.

Чтобы вычислить площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, сначала вспомним его основные характеристики. В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны по длине, и гипотенуза является самой длинной стороной. Обозначим длину катета через (a).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

[ c^2 = a^2 + a^2 ]

где (c) — длина гипотенузы. Учитывая, что (c = 42) см, уравнение примет вид:

[ 42^2 = 2a^2 ]

Теперь решим это уравнение:

[ 1764 = 2a^2 ] [ a^2 = \frac{1764}{2} ] [ a^2 = 882 ] [ a = \sqrt{882} ]

Раскроем корень:

[ a = \sqrt{882} \approx 29.7 \, \text{см} ]

Теперь, когда мы знаем длину катета, можем вычислить площадь треугольника. Площадь (S) прямоугольного треугольника с равными катетами может быть найдена по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times a ] [ S = \frac{1}{2} \times 29.7 \times 29.7 ] [ S = \frac{1}{2} \times 882 ] [ S = 441 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 42 см составляет 441 квадратный сантиметр.

Длина гипотенузы равна (\sqrt{2} \cdot a), где (a) - катет треугольника. Таким образом, (a = \frac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2}) см. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется по формуле (S = \frac{a^2}{2}). Подставляем значение (a = 21\sqrt{2}) и находим (S = \frac{(21\sqrt{2})^2}{2} = \frac{882}{2} = 441) кв. см.