Длина дуги окружности с градусной мерой 120 равна 8 пи см.Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
Длина дуги окружности с градусной мерой 120 равна 8 пи см.Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
Для вычисления площади кругового сектора, соответствующего дуге окружности длиной 8π см при градусной мере 120 градусов, нужно сначала найти радиус окружности.
Длина дуги окружности равна произведению длины окружности на отношение градусной меры дуги к полному углу в 360 градусов: Длина дуги = 2πr * (градусная мера дуги / 360)
Таким образом, 8π = 2πr (120 / 360) 8π = 2πr (1/3) r = 4
Теперь, найдем площадь кругового сектора с радиусом 4 и углом 120 градусов: Площадь сектора = (площадь круга градусная мера дуги) / 360 Площадь сектора = (π r^2 120) / 360 Площадь сектора = (π 4^2 120) / 360 Площадь сектора = (16π 120) / 360 Площадь сектора = 64π / 3
Итак, площадь соответствующего данной дуге кругового сектора равна 64π / 3 квадратных сантиметра.
Для решения задачи нам нужно использовать несколько формул из геометрии, касающихся окружностей и круговых секторов.
Длина дуги: Длина дуги окружности ( l ) связана с радиусом ( r ) и углом ( \theta ) (в радианах) следующим образом: [ l = r \cdot \theta ] Нам дана длина дуги ( l = 8\pi ) см и градусная мера угла ( \theta = 120^\circ ). Сначала переведем угол из градусов в радианы: [ 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} ]
Нахождение радиуса: Используя формулу длины дуги, подставим известные значения: [ 8\pi = r \cdot \frac{2\pi}{3} ] Решим это уравнение для ( r ): [ r = \frac{8\pi}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{8\pi \cdot 3}{2\pi} = 12 \text{ см} ]
Площадь сектора: Площадь сектора ( A ) также зависит от радиуса ( r ) и угла ( \theta ) (в радианах): [ A = \frac{1}{2} r^2 \theta ] Подставим найденные значения радиуса и угла: [ A = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \frac{2\pi}{3} ] Упростим выражение: [ A = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{2\pi}{3} = 72 \cdot \frac{2\pi}{3} = 48\pi \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь кругового сектора, соответствующего дуге длиной ( 8\pi ) см и градусной мерой ( 120^\circ ), равна ( 48\pi ) квадратных сантиметров.
