Диаметр шара равен 4m.Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30 градусов к нему.Найдите...

Давайте разберем задачу по геометрии.

1. Основные данные и формулы:

   • Радиус шара ( R = \frac{4}{2} = 2 ) метра.
   • Плоскость сечения проходит через конец диаметра шара под углом 30 градусов к диаметру.

2. Определение радиуса сечения: Поскольку плоскость сечения не перпендикулярна диаметру, то сечение шара плоскостью будет кругом, радиус которого меньше радиуса шара. Чтобы найти радиус этого круга ( r ), нужно использовать следующую геометрическую конструкцию:

   Представьте, что диаметр шара вертикален, и плоскость сечения проходит через его нижнюю точку (конец диаметра) под углом 30 градусов. Тогда если мы проведем перпендикуляр из центра шара к этой плоскости, точка пересечения будет центром круга сечения.

   Используя тригонометрию, высота ( h ) этого перпендикуляра (от центра шара до плоскости) будет равна ( h = R \cos 30^\circ ). Так как ( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ метров} ]

   Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом шара (2 м), высотой ( h ) и искомым радиусом сечения ( r ): [ r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 \text{ метр} ]

3. Площадь сечения: Площадь круга с радиусом ( r ) вычисляется по формуле: [ S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ кв. метров} ]

   Таким образом, площадь сечения шара этой плоскостью равна ( \pi ) квадратных метров.

К сожалению, я не могу создать изображение в данном интерфейсе, но вы можете легко визуализировать это, нарисовав круг (шар), вертикальный диаметр, и проведя линию сечения через один конец диаметра под углом 30 градусов к вертикали.

Для решения данной задачи сначала найдем радиус шара. Для этого воспользуемся формулой диаметра шара: D = 2r, где D - диаметр, r - радиус. Подставляем известное значение диаметра (D = 4 м) и находим радиус: r = D/2 = 4/2 = 2 м.

Теперь нарисуем плоскость, проходящую через конец диаметра под углом 30 градусов.

Далее найдем площадь сечения шара этой плоскостью. Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, будет кругом. Площадь круга можно найти по формуле: S = πr^2, где r - радиус.

Однако в данной задаче плоскость проходит через конец диаметра, а не через центр. Поэтому нам нужно найти расстояние от центра шара до этой плоскости. Расстояние от центра до плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 30 градусов, равно половине радиуса шара, умноженной на косинус угла между радиусом и плоскостью (так как угол между радиусом и нормалью плоскости равен 30 градусов).

cos(30 градусов) = √3/2

Расстояние от центра до плоскости = r/2 cos(30 градусов) = 2/2 √3/2 = √3 м.

Теперь можем найти радиус сечения шара этой плоскостью: r' = √(r^2 - h^2) = √(2^2 - (√3)^2) = √(4 - 3) = 1 м.

И, наконец, площадь сечения шара этой плоскостью: S' = πr'^2 = π * 1^2 = π м^2.