Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны 10, 12 и 14...

Чтобы найти линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, у которого длины диагоналей трех граней, сходящихся в одной вершине, равны 10, 12 и 14 см, обозначим его размеры как ( a ), ( b ) и ( c ).

Диагонали граней, сходящихся в одной вершине, можно выразить через размеры параллелепипеда:

1. Диагональ первой грани: (\sqrt{a^2 + b^2} = 10)
2. Диагональ второй грани: (\sqrt{b^2 + c^2} = 12)
3. Диагональ третьей грани: (\sqrt{c^2 + a^2} = 14)

Теперь решим систему уравнений:

1. ( a^2 + b^2 = 100 )
2. ( b^2 + c^2 = 144 )
3. ( c^2 + a^2 = 196 )

Чтобы найти ( a^2 ), ( b^2 ) и ( c^2 ), сложим все три уравнения:

[ (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2) = 100 + 144 + 196 ]

[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 440 ]

[ a^2 + b^2 + c^2 = 220 ]

Теперь, вычтем из этого уравнения каждое из уравнений системы, чтобы найти значения для ( a^2 ), ( b^2 ) и ( c^2 ):

1. ( a^2 + b^2 = 100 )
   ( c^2 = 220 - 100 = 120 )

2. ( b^2 + c^2 = 144 )
   ( a^2 = 220 - 144 = 76 )

3. ( c^2 + a^2 = 196 )
   ( b^2 = 220 - 196 = 24 )

Теперь у нас есть квадраты линейных размеров:

• ( a^2 = 76 )
• ( b^2 = 24 )
• ( c^2 = 120 )

Следовательно, сами размеры:

• ( a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} )
• ( b = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} )
• ( c = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} )

Таким образом, линейные размеры прямоугольного параллелепипеда составляют ( 2\sqrt{19} ) см, ( 2\sqrt{6} ) см и ( 2\sqrt{30} ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются гипотенузами прямоугольных треугольников, образованных этими диагоналями и ребрами параллелепипеда.

Обозначим длины рёбер параллелепипеда как a, b и c. Тогда у нас будут следующие уравнения: a^2 + b^2 = 10^2, a^2 + c^2 = 12^2, b^2 + c^2 = 14^2.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сложим все три уравнения: 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 100 + 144 + 196, a^2 + b^2 + c^2 = 240.

Мы знаем, что a, b и c являются сторонами прямоугольного треугольника, поэтому у нас есть следующее соотношение: a^2 + b^2 = c^2.

Подставим это в уравнение a^2 + b^2 + c^2 = 240: c^2 + c^2 = 240, 2c^2 = 240, c^2 = 120.

Отсюда получаем, что c = √120 = 10√3 см.

Теперь мы можем найти значения a и b, подставив найденное значение c в любое из уравнений: a^2 + 120 = 100, a^2 = 100 - 120, a^2 = -20.

Так как длины сторон не могут быть отрицательными, то мы делаем вывод, что в условиях задачи допущена ошибка.