Диагонали ромба равны 60 и 80 см. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в ромб, нужно сначала найти длину стороны ромба и высоту. Зная диагонали ромба, можно это сделать.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть (d_1 = 60 \, \text{см}) и (d_2 = 80 \, \text{см}) — диагонали. Тогда каждая половина диагоналей будет равна:

[ \frac{d_1}{2} = 30 \, \text{см}, \quad \frac{d_2}{2} = 40 \, \text{см}. ]

Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, каждый из четырех треугольников, на которые они делят ромб, является прямоугольным. Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны ромба (a):

[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, \text{см}. ]

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в ромб, нужно найти высоту ромба. Высота (h) ромба может быть найдена через площадь (S) ромба и его сторону:

Площадь ромба через диагонали:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{60 \cdot 80}{2} = 2400 \, \text{см}^2. ]

Высота ромба через площадь и сторону:

[ h = \frac{S}{a} = \frac{2400}{50} = 48 \, \text{см}. ]

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен (\frac{h}{2}), поскольку высота ромба равна диаметру окружности, вписанной в ромб:

[ r = \frac{h}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, \text{см}. ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в ромб, равен (24) см.

Чтобы найти радиус вписанной окружности в ромб, нужно воспользоваться формулой: [ r = \frac{S}{P} ], где ( r ) - радиус окружности, ( S ) - площадь ромба, ( P ) - периметр ромба.

Площадь ромба можно найти, используя формулу: [ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ], где ( d_1 ) и ( d_2 ) - диагонали ромба.

Периметр ромба равен: [ P = 4a ], где ( a ) - длина стороны ромба.

Для нахождения радиуса окружности вписанной в ромб с диагоналями 60 и 80 см, сначала найдем площадь ромба: [ S = \frac{60 \cdot 80}{2} = 2400 \, см^2 ].

Теперь найдем периметр ромба. Для этого нам нужно найти стороны ромба. По теореме Пифагора: [ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{60}{2}\right)^2 + \left(\frac{80}{2}\right)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, см ].

Теперь найдем периметр: [ P = 4 \times 50 = 200 \, см ].

И, наконец, найдем радиус вписанной окружности: [ r = \frac{2400}{200} = 12 \, см ].

Таким образом, радиус вписанной окружности в ромб с диагоналями 60 и 80 см равен 12 см.