Диагонали ромба abcd равны 16 и 30. Найдите длину вектора ab-ac!

Для поиска длины вектора ( \vec{AB} - \vec{AC} ) в ромбе ( ABCD ) с диагоналями, равными 16 и 30, нам нужно следовать нескольким шагам.

1. Определение свойств диагоналей ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в точке, делящей их пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке ( O ). Тогда ( AO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15 ) и ( BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8 ).

2. Нахождение длины сторон ромба: Поскольку ( AO ) и ( BO ) являются половинами диагоналей и образуют прямоугольный треугольник ( AOB ) с гипотенузой ( AB ): [ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 ] Таким образом, все стороны ромба равны 17.

3. Переход к векторам: Обозначим координаты точек так, чтобы точка ( O ) была в начале координат: ( O(0, 0) ). Тогда координаты ( A, B, C, D ) будут: ( A(15, 0) ), ( C(-15, 0) ), ( B(0, 8) ), ( D(0, -8) ).

4. Выражение векторов через координаты: Вектор ( \vec{AB} ) имеет координаты разности точек ( B ) и ( A ): [ \vec{AB} = (0 - 15, 8 - 0) = (-15, 8) ] Вектор ( \vec{AC} ) имеет координаты разности точек ( C ) и ( A ): [ \vec{AC} = (-15 - 15, 0 - 0) = (-30, 0) ]

5. Нахождение вектора ( \vec{AB} - \vec{AC} ): [ \vec{AB} - \vec{AC} = (-15, 8) - (-30, 0) = (-15 + 30, 8 - 0) = (15, 8) ]

6. Длина вектора ( \vec{AB} - \vec{AC} ): Длина вектора ( (15, 8) ) находится по формуле: [ |\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 ]

Таким образом, длина вектора ( \vec{AB} - \vec{AC} ) равна ( 17 ).

Для решения этой задачи нам нужно найти длины сторон ромба abcd, затем определить координаты векторов ab и ac, и, наконец, вычислить длину вектора ab-ac.

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре равные части, то каждая диагональ является диагональю параллелограмма, образованного смежными сторонами ромба. Поэтому, если диагонали ромба равны 16 и 30, то стороны ромба равны 16 и 30/2=15.

Теперь найдем координаты векторов ab и ac. Пусть точки a, b, c и d имеют координаты (0, 0), (16, 0), (15, 8) и (1, 8) соответственно. Тогда вектор ab = b - a = (16, 0) - (0, 0) = (16, 0) и вектор ac = c - a = (15, 8) - (0, 0) = (15, 8).

Наконец, найдем вектор ab-ac = ab - ac = (16, 0) - (15, 8) = (1, -8). Длина этого вектора равна корню из суммы квадратов его компонент: |ab-ac| = √(1^2 + (-8)^2) = √(1 + 64) = √65.

Итак, длина вектора ab-ac равна √65.