Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 3 и 4 . Найдите длину вектора AO+BO

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Это значит, что точки O делят диагонали пополам, то есть AO = OC и BO = OD.

Даны длины диагоналей AC = 3 и BD = 4. Следовательно, AO = OC = 3/2 и BO = OD = 4/2 = 2.

Теперь найдём вектор (\mathbf{AO} + \mathbf{BO}).

Так как диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом, векторы (\mathbf{AO}) и (\mathbf{BO}) взаимно перпендикулярны. Это значит, что для нахождения длины вектора (\mathbf{AO} + \mathbf{BO}) мы можем использовать теорему Пифагора.

Вектор (\mathbf{AO} + \mathbf{BO}) образует прямоугольный треугольник, где (|\mathbf{AO}|) и (|\mathbf{BO}|) являются катетами, а (|\mathbf{AO} + \mathbf{BO}|) — гипотенузой. Тогда:

[ |\mathbf{AO} + \mathbf{BO}| = \sqrt{|\mathbf{AO}|^2 + |\mathbf{BO}|^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}. ]

Таким образом, длина вектора (\mathbf{AO} + \mathbf{BO}) равна (\frac{5}{2}).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами геометрии и векторов.

Поскольку диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, то точка O является центром пересечения диагоналей ромба и, следовательно, точкой пересечения векторов AO и BO.

Так как длина диагоналей ромба равна 3 и 4, то можно представить векторы AO и BO как половину длины диагоналей, то есть AO = 1.5 и BO = 2.

Теперь найдем сумму векторов AO и BO: AO + BO = (1.5, 0) + (0, 2) = (1.5, 2)

Длина вектора AO+BO равна корню из суммы квадратов его компонент: |AO + BO| = √(1.5^2 + 2^2) = √(2.25 + 4) = √6.25 = 2.5

Таким образом, длина вектора AO+BO равна 2.5.

Длина вектора AO+BO равна 5.