Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны её периметр равен 50 см а боковая сторона 14 см Найдите...

Чтобы найти высоту равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны и периметр равен 50 см, а боковая сторона равна 14 см, мы сначала запишем и разберем все известные данные.

Обозначим:

• ( a ) и ( b ) — основания трапеции (( a > b ));
• ( c ) — боковая сторона трапеции, равная 14 см;
• ( h ) — высота трапеции.

Так как трапеция равнобокая и её диагонали перпендикулярны, можем воспользоваться свойством таких трапеций: сумма квадратов оснований равна квадратам боковых сторон.

Известные данные:

• Периметр трапеции: ( a + b + 2c = 50 ).
• Боковая сторона: ( c = 14 ).

Сначала найдем сумму оснований: [ a + b = 50 - 2 \cdot 14 = 50 - 28 = 22 ]

Теперь используем свойство равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями: [ a^2 + b^2 = 2c^2 ] [ a^2 + b^2 = 2 \cdot 14^2 ] [ a^2 + b^2 = 2 \cdot 196 ] [ a^2 + b^2 = 392 ]

Мы уже знаем, что ( a + b = 22 ). Используем систему уравнений: [ a + b = 22 ] [ a^2 + b^2 = 392 ]

Решим систему уравнений. Подставим ( b = 22 - a ) во второе уравнение: [ a^2 + (22 - a)^2 = 392 ] [ a^2 + 484 - 44a + a^2 = 392 ] [ 2a^2 - 44a + 484 = 392 ] [ 2a^2 - 44a + 92 = 0 ]

Разделим уравнение на 2: [ a^2 - 22a + 46 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 46 ] [ D = 484 - 184 ] [ D = 300 ]

Корни уравнения: [ a = \frac{22 \pm \sqrt{300}}{2} ] [ a = 11 \pm \sqrt{75} ] [ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} ] [ a = 11 \pm 5\sqrt{3} ]

Таким образом, основания трапеции: [ a = 11 + 5\sqrt{3} ] [ b = 11 - 5\sqrt{3} ]

Теперь найдем высоту трапеции, используя формулу для высоты равнобокой трапеции: [ h = \sqrt{c^2 - \left( \frac{a - b}{2} \right)^2} ] [ h = \sqrt{14^2 - \left( \frac{(11 + 5\sqrt{3}) - (11 - 5\sqrt{3})}{2} \right)^2} ] [ h = \sqrt{196 - \left( \frac{10\sqrt{3}}{2} \right)^2} ] [ h = \sqrt{196 - (5\sqrt{3})^2} ] [ h = \sqrt{196 - 75} ] [ h = \sqrt{121} ] [ h = 11 ]

Итак, высота трапеции равна 11 см.

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства равнобокой трапеции.

Так как диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то каждая диагональ разбивает трапецию на два прямоугольных треугольника. Пусть высота трапеции равна h, а основания равны a и b (a — верхнее основание, b — нижнее основание).

Так как диагонали перпендикулярны, то каждый из получившихся треугольников будет прямоугольным. Поэтому мы можем воспользоваться тем, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы (теорема Пифагора).

Найдем длину основания трапеции a и b. Так как диагонали равны, то каждая из них делит трапецию на два прямоугольных треугольника, в одном из которых верхнее основание равно а, а в другом - b.

Для нахождения длины оснований a и b воспользуемся свойством прямоугольного треугольника:

a^2 + h^2 = d^2, где d - диагональ трапеции.

b^2 + h^2 = d^2.

Так как диагонали трапеции равны, то:

a^2 + h^2 = b^2 + h^2

a^2 = b^2

Так как b - это длина нижнего основания трапеции, которая равна 14 см, то мы можем найти значение основания a:

a = b = 14 см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции. Используем формулу для периметра трапеции:

50 = a + b + 2h

50 = 14 + 14 + 2h

50 = 28 + 2h

2h = 50 - 28

2h = 22

h = 11

Таким образом, высота равнобокой трапеции равна 11 см.