Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O,угол MON равен 54°. Найдите угол OMP.

В прямоугольнике MNKP диагонали пересекаются в точке O и делят его на четыре равных треугольника. Мы знаем, что в прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под углом 90 градусов.

1. Обозначим углы:

   • Угол MON равен 54°.
   • Угол OMP — тот угол, который мы хотим найти.

2. В треугольнике MON:

   • Сумма углов треугольника равна 180°.
   • Угол MNO равен углу OMP (по свойству равенства углов при пересечении диагоналей в прямоугольнике).

Пусть угол OMP = x. Тогда угол MNO также равен x.

1. Выразим сумму углов для треугольника MON: [ \angle MON + \angle MNO + \angle OMP = 180° ] Подставим известные значения: [ 54° + x + x = 180° ] [ 54° + 2x = 180° ]

2. Решим это уравнение: [ 2x = 180° - 54° ] [ 2x = 126° ] [ x = 63° ]

Таким образом, угол OMP равен 63°.

Давайте разберём задачу подробно.

Условие:

1. MNKP — прямоугольник.
2. Диагонали MN и PK пересекаются в точке O.
3. Угол ( \angle MON = 54^\circ ).
4. Требуется найти угол ( \angle OMP ).

Шаг 1: Свойства диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника обладают следующими свойствами:

• Диагонали равны по длине.
• Диагонали пересекаются в точке O, которая делит их пополам.
• Точка O является серединой каждой диагонали.

Таким образом, диагонали разбивают прямоугольник на 4 равнобедренных треугольника: ( \triangle MON, \triangle MOP, \triangle NOP ) и ( \triangle PON ).

Шаг 2: Связь углов

Так как диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, треугольник ( \triangle MON ) является равнобедренным (( MO = ON )). В нём угол ( \angle MON = 54^\circ ), а два оставшихся угла — ( \angle MNO ) и ( \angle NMO ) — равны между собой.

Сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ). Таким образом: [ \angle MNO + \angle NMO + \angle MON = 180^\circ. ] Подставим ( \angle MON = 54^\circ ): [ \angle MNO + \angle NMO + 54^\circ = 180^\circ. ] [ \angle MNO + \angle NMO = 126^\circ. ] Так как углы ( \angle MNO ) и ( \angle NMO ) равны (треугольник равнобедренный), каждый из них равен: [ \angle MNO = \angle NMO = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ. ]

Шаг 3: Переход к треугольнику ( \triangle MOP )

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle MOP ). Он также равнобедренный, так как ( MO = OP ) (по свойству диагоналей прямоугольника). Нам нужно найти угол ( \angle OMP ).

В прямоугольнике углы между диагоналями равны. Например, угол ( \angle MON + \angle MOP = 180^\circ ) (они являются смежными, как углы пересечения диагоналей). Таким образом, угол ( \angle MOP ) равен: [ \angle MOP = 180^\circ - \angle MON = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ. ]

Теперь в треугольнике ( \triangle MOP ) известны:

• ( \angle MOP = 126^\circ ),
• два оставшихся угла (( \angle OMP ) и ( \angle MPO )) равны между собой, так как треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ). Таким образом: [ \angle OMP + \angle MPO + \angle MOP = 180^\circ. ] Подставим ( \angle MOP = 126^\circ ): [ \angle OMP + \angle MPO + 126^\circ = 180^\circ. ] [ \angle OMP + \angle MPO = 54^\circ. ] Так как ( \angle OMP = \angle MPO ), каждый из них равен: [ \angle OMP = \angle MPO = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ. ]

Ответ:

Угол ( \angle OMP ) равен ( 27^\circ ).