Диагонали параллелограмма равны 14 см и 18 см, а стороны относятся 4:7.Найдите периметр паралелограмаю

Чтобы найти периметр параллелограмма, дано, что его диагонали равны 14 см и 18 см, а стороны относятся как 4:7.

1. Свойства параллелограмма:

   • Диагонали параллелограмма не равны, но они точкой пересечения делятся пополам.

2. Векторное представление диагоналей:

   • Обозначим стороны параллелограмма как (a) и (b). Так как стороны относятся как 4:7, можно записать (a = 4k) и (b = 7k), где (k) — некоторое положительное число.

3. Формула диагоналей в параллелограмме:

   • Пусть диагонали пересекаются в точке (O). Тогда по свойствам параллелограмма:
     • (AC = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta})
     • (BD = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta})

   где (AC = 14) см и (BD = 18) см, а (\theta) — угол между сторонами (a) и (b).

4. Использование системы уравнений:

   • Из уравнений для диагоналей: [ \sqrt{(4k)^2 + (7k)^2 + 2 \cdot 4k \cdot 7k \cdot \cos \theta} = 14 ] [ \sqrt{(4k)^2 + (7k)^2 - 2 \cdot 4k \cdot 7k \cdot \cos \theta} = 18 ]

5. Система уравнений:

   • Упростим и решим систему:

     • ( \sqrt{16k^2 + 49k^2 + 56k^2 \cos \theta} = 14 )
     • ( \sqrt{16k^2 + 49k^2 - 56k^2 \cos \theta} = 18 )

   • Упростим:

     • ( \sqrt{65k^2 + 56k^2 \cos \theta} = 14 )
     • ( \sqrt{65k^2 - 56k^2 \cos \theta} = 18 )

6. Решение системы:

   • Решим первое уравнение: [ 65k^2 + 56k^2 \cos \theta = 196 \quad \Rightarrow \quad 56k^2 \cos \theta = 196 - 65k^2 ]

   • Решим второе уравнение: [ 65k^2 - 56k^2 \cos \theta = 324 \quad \Rightarrow \quad 56k^2 \cos \theta = 65k^2 - 324 ]

   • Приравняем: [ 196 - 65k^2 = 65k^2 - 324 ]

   • Решим для (k^2): [ 2 \cdot 65k^2 = 520 \quad \Rightarrow \quad k^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 2 ]

7. Нахождение сторон:

   • (a = 4k = 8) см, (b = 7k = 14) см.

8. Периметр параллелограмма:

   • Периметр (P = 2(a + b) = 2(8 + 14) = 44) см.

Таким образом, периметр параллелограмма равен 44 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны 4x и 7x, где x - коэффициент пропорциональности. Так как диагонали параллелограмма делят его на 4 равные треугольника, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты параллелограмма.

По теореме Пифагора: (h^2 = 18^2 - 14^2), (h = \sqrt{18^2 - 14^2}), (h = \sqrt{324 - 196}), (h = \sqrt{128}), (h = 8).

Теперь мы можем построить высоту параллелограмма, которая будет равна 8 см.

Так как высота является биссектрисой треугольника, то мы можем разделить диагональ на две части: 9 см и 9 см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для каждого из треугольников: (a^2 = 9^2 + 4x^2), (b^2 = 9^2 + 7x^2).

Подставляем a и b в формулу для периметра параллелограмма: (P = 2a + 2b = 2\sqrt{9^2 + 4x^2} + 2\sqrt{9^2 + 7x^2}).

Окончательный ответ на вопрос: периметр параллелограмма равен (2\sqrt{9^2 + 4x^2} + 2\sqrt{9^2 + 7x^2}).