Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, а точка М делит сторону в отношении АМ : МD =...

Для начала обозначим векторы OA = a, OD = b и найдем векторы OC и OB, которые являются диагоналями параллелограмма:

OC = OA + OD = a + b

OB = OD - OA = b - a

Теперь найдем вектор ОМ, используя свойства аффинной комбинации:

OM = AM + OA = (2/3)AD + a = (2/3)b + a

Итак, вектор ОМ выражается через векторы a и b следующим образом: OM = (2/3)b + a.

Чтобы выразить вектор (\mathbf{OM}) через векторы (\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{b} = \overrightarrow{AD}), воспользуемся свойствами параллелограмма и соотношением деления.

1. Определение диагоналей: В параллелограмме диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам. Это означает, что точка (O) является серединой диагоналей (AC) и (BD). Таким образом: [ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} ]

2. Выражение координат точек через векторы: В координатах точка (C) может быть выражена через векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), поскольку (C = A + \mathbf{a} + \mathbf{b}). Таким образом, вектор (\overrightarrow{AC}) равен (\mathbf{a} + \mathbf{b}).

3. Выражение точки (O): Поскольку (O) является серединой вектора (\overrightarrow{AC}): [ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + (\overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \mathbf{b})}{2} = \overrightarrow{A} + \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} ] Таким образом, вектор (\overrightarrow{AO} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}).

4. Определение точки (M): Точка (M) делит сторону (AD) в отношении (AM : MD = 1:2). Это означает, что (M) делит (AD) в отношении (\frac{1}{3}) и (\frac{2}{3}): [ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3} \mathbf{b} ]

5. Выражение вектора (\overrightarrow{OM}): Теперь найдем вектор (\overrightarrow{OM}) через точки (O) и (M): [ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{O} + \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{O} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AM} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} + \frac{1}{3} \mathbf{b} ]

   Объединим части вектора: [ \overrightarrow{OM} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} + \frac{\mathbf{b}}{3} ]

6. Приведение к общему знаменателю: Приведем к общему знаменателю (6): [ \overrightarrow{OM} = \frac{3(\mathbf{a} + \mathbf{b})}{6} + \frac{2\mathbf{b}}{6} = \frac{3\mathbf{a} + 3\mathbf{b} + 2\mathbf{b}}{6} = \frac{3\mathbf{a} + 5\mathbf{b}}{6} ]

Таким образом, вектор (\overrightarrow{OM}) выражается через векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) следующим образом: [ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{6}(3\mathbf{a} + 5\mathbf{b}) ]