Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45град....

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, нам нужно сначала определить параметры призмы и цилиндра.

1. Правильная четырехугольная призма:

   • Это призма, основанием которой является квадрат.
   • Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов и равна 4 см.

2. Разбор задачи:

   • Обозначим сторону квадрата основания призмы как ( a ).
   • Высоту призмы как ( h ).
   • Диагональ призмы проходит из одной вершины основания в противоположную вершину верхнего основания и равна 4 см.
   • Наклон диагонали к основанию 45 градусов означает, что диагональ, высота и одна сторона основания образуют прямоугольный треугольник.

3. Рассмотрим этот треугольник:

   • По теореме косинусов для прямоугольного треугольника: [ \text{Диагональ}^2 = a^2 + h^2 ]
   • Так как угол между диагональю и плоскостью основания 45 градусов: [ \cos(45^\circ) = \frac{h}{\text{Диагональ}} = \frac{h}{4} ]
   • Отсюда: [ h = 4 \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} ]

4. Площадь боковой поверхности цилиндра:

   • Цилиндр вписан в призму, значит его высота равна высоте призмы ( h = 2\sqrt{2} ).
   • Радиус основания цилиндра равен половине стороны квадрата основания призмы, то есть ( r = \frac{a}{2} ).

5. Определение стороны основания ( a ):

   • Из диагонали квадрата: [ a\sqrt{2} = a^2 + h^2 = a^2 + (2\sqrt{2})^2 = a^2 + 8 ] [ 4 = a\sqrt{2} \rightarrow a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} ]

6. Радиус цилиндра:

   • Радиус ( r = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} ).

7. Площадь боковой поверхности цилиндра:

   • Формула площади боковой поверхности цилиндра: [ S = 2\pi rh = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2\pi \cdot 2 \cdot 2 = 8\pi ]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, равна ( 8\pi ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам нужно найти высоту четырехугольной призмы, зная что диагональ равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю призмы, ее проекцией на основание призмы и высотой призмы. Этот треугольник является равнобедренным, так как диагональ и высота призмы являются высотами равнобедренного треугольника, а угол между диагональю и основанием призмы равен 45 градусам.

Таким образом, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения высоты призмы. Пусть a - сторона основания призмы (равна стороне вписанного цилиндра), h - высота призмы, d - диагональ призмы (равна диаметру вписанного цилиндра).

Тогда по теореме косинусов: cos(45 градусов) = a / d cos(45 градусов) = a / 4 a = 4 cos(45 градусов) = 4 √2 / 2 = 2√2 см

Теперь можем найти высоту призмы, используя теорему Пифагора: h = √(d^2 - (a/2)^2) h = √(4^2 - (2√2 / 2)^2) h = √(16 - 2) h = √14 см

Теперь, когда мы нашли высоту призмы, мы можем найти площадь боковой поверхности вписанного цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению окружности на высоту цилиндра. Так как радиус цилиндра равен половине стороны основания призмы, то радиус равен √2 см.

S = 2πrh S = 2π √2 √14 S = 4π * √7 S ≈ 26.52 см^2

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, равна примерно 26.52 квадратных сантиметра.