Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 24 см. Она образует с прилегающей к ней стороной основания...

Для решения задачи используем свойства правильной четырёхугольной призмы. В правильной четырехугольной призме основанием является квадрат, а боковые грани — прямоугольники. Нам известна диагональ призмы, угол между диагональю и стороной основания, и требуется найти объем.

1. Обозначения и известные данные:

• Основанием призмы является квадрат со стороной ( a ).
• Высота призмы обозначим через ( h ).
• Диагональ призмы обозначим через ( d = 24 ) см.
• Угол между диагональю призмы и стороной основания равен ( 60^\circ ).

Объем призмы рассчитывается по формуле: [ V = S{\text{осн}} \cdot h, ] где ( S{\text{осн}} = a^2 ) — площадь квадратного основания, а ( h ) — высота призмы.

2. Связь диагонали призмы, стороны основания и высоты:

Диагональ призмы соединяет противоположные вершины двух оснований. Она является гипотенузой треугольника, в котором одна из сторон — диагональ основания (квадрата), а другая — высота ( h ) призмы.

• Диагональ квадрата (основания) равна ( a\sqrt{2} ).
• По теореме Пифагора для диагонали призмы: [ d^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2. ] Подставим ( d = 24 ): [ 24^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2. ] [ 576 = 2a^2 + h^2. ]

3. Угол между диагональю призмы и стороной основания:

Диагональ ( d ) образует с прилегающей стороной основания угол ( 60^\circ ). В этом случае можно использовать тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике, где диагональ призмы — гипотенуза, а сторона основания ( a ) — прилежащий катет, имеем: [ \cos 60^\circ = \frac{a}{d}. ] Подставим значение ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ): [ \frac{1}{2} = \frac{a}{24}. ] Отсюда: [ a = 12 \, \text{см}. ]

4. Найдем высоту ( h ):

Подставим ( a = 12 ) в уравнение для диагонали призмы: [ 576 = 2a^2 + h^2. ] [ 576 = 2(12^2) + h^2. ] [ 576 = 2(144) + h^2. ] [ 576 = 288 + h^2. ] [ h^2 = 576 - 288. ] [ h^2 = 288. ] [ h = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \, \text{см}. ]

5. Найдем объем призмы:

Объем призмы равен: [ V = S_{\text{осн}} \cdot h = a^2 \cdot h. ] Подставим ( a = 12 ) и ( h = 12\sqrt{2} ): [ V = 12^2 \cdot 12\sqrt{2}. ] [ V = 144 \cdot 12\sqrt{2}. ] [ V = 1728\sqrt{2} \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объем правильной четырёхугольной призмы равен: [ \boxed{1728\sqrt{2} \, \text{см}^3}. ]

Для решения задачи сначала проанализируем данную информацию о правильной четырехугольной призме. Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание, и мы знаем, что диагональ призмы равна 24 см и она образует угол в 60 градусов с прилегающей к ней стороной основания.

1. Найдем длину стороны квадрата основания.

Диагональ квадрата (d) и длина стороны квадрата (a) связаны формулой:

[ d = a\sqrt{2} ]

Из условия мы знаем, что диагональ (d = 24) см. Подставим это значение в формулу:

[ 24 = a\sqrt{2} ]

Решим уравнение относительно (a):

[ a = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \text{ см} ]

1. Определим высоту призмы.

Диагональ образует угол в 60 градусов с прилегающей к ней стороной основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты призмы. Обозначим высоту призмы как (h).

Согласно определению косинуса в прямоугольном треугольнике, имеем:

[ \cos(60^\circ) = \frac{a}{d} ]

Подставим известные значения:

[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ]

Подставим известные значения в формулу:

[ \frac{1}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{24} ]

Проверим:

[ \frac{12\sqrt{2}}{24} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Это правильно, так как (\sqrt{2}/2) равняется (\cos(45^\circ)), а не 60 градусов. Это значит, что мы должны использовать синус для нахождения высоты.

Теперь, используя синус:

[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{d} ]

где (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}):

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{24} ]

Отсюда находим высоту (h):

[ h = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см} ]

1. Вычислим объем призмы.

Объем (V) правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:

[ V = S_{\text{осн}} \cdot h ]

где (S_{\text{осн}}) – площадь основания. Площадь квадрата:

[ S_{\text{осн}} = a^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288 \text{ см}^2 ]

Теперь подставим значения в формулу для нахождения объема:

[ V = 288 \cdot 12\sqrt{3} = 3456\sqrt{3} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен (3456\sqrt{3}) см³.