Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 8 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычисли...

Для решения этой задачи нам необходимо сначала найти длину стороны основания правильной четырёхугольной призмы, зная диагональ призмы и угол, который диагональ образует с боковой гранью.

1. Обозначим длину стороны основания призмы как ( a ), а высоту призмы как ( h ). Так как основание призмы - правильный четырехугольник (квадрат), то диагональ основания равна ( a\sqrt{2} ).

2. Полная диагональ призмы будет соединять противоположные вершины нижнего и верхнего оснований и по теореме Пифагора может быть вычислена по формуле: [ d = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ] где ( d = 8 ) см - длина диагонали призмы.

3. Рассмотрим треугольник, образованный высотой призмы ( h ), половиной диагонали основания ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ) и проекцией диагонали призмы на плоскость основания (половина диагонали призмы): [ \cos 30^\circ = \frac{\text{проекция диагонали на плоскость основания}}{d} = \frac{\sqrt{2a^2}}{8} ] Учитывая, что ( \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 ), получаем: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2a^2}}{8} ] [ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}a}{4} ] [ a = 4\sqrt{3}/\sqrt{2} = 2\sqrt{6} ]

4. Теперь, зная сторону основания, можем найти площадь основания (квадрата): [ S = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24 \text{ см}^2 ] Таким образом, площадь основания призмы равна 24 см².

Площадь основания призмы равна 16 кв.см.

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что диагональ правильной четырёхугольной призмы делит её боковую грань на две равные части, образуя равнобедренный треугольник. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине диагонали (4 см), а угол между этим катетом и диагональю равен 30°.

Теперь можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Так как нам известен катет и угол между ним и гипотенузой, мы можем найти длину другого катета (стороны основания призмы). Используем формулу:

cos(30°) = adjacent/hypotenuse cos(30°) = x/8 x = 8 * cos(30°) x ≈ 6,93 см

Теперь, когда мы знаем сторону основания призмы, можем вычислить площадь прямоугольника, которая равна произведению его сторон:

S = 6,93 * 8 = 55,44 см²

Таким образом, площадь основания данной четырёхугольной призмы равна 55,44 квадратных сантиметра.