Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4 корень из 2, образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти боковую поверхность цилиндра.
Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4 корень из 2, образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти боковую поверхность цилиндра.
Чтобы найти боковую поверхность цилиндра, исходя из данных о диагонали осевого сечения и угле между диагональю и плоскостью основания, начнем с анализа проблемы.
Определение осевого сечения цилиндра: Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, где одна сторона равна высоте цилиндра ( h ), а другая сторона равна диаметру основания цилиндра ( d ).
Диагональ осевого сечения: По условию, диагональ осевого сечения равна ( 4\sqrt{2} ). Диагональ ( D ) прямоугольника можно выразить через его стороны: [ D = \sqrt{d^2 + h^2} ] Подставляем значение диагонали: [ 4\sqrt{2} = \sqrt{d^2 + h^2} ] Возводим обе стороны в квадрат: [ (4\sqrt{2})^2 = d^2 + h^2 ] [ 32 = d^2 + h^2 \quad \text{(1)} ]
Угол между диагональю и плоскостью основания: Угол в 45 градусов означает, что высота цилиндра равна радиусу основания. Поскольку угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусам, можем сказать: [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{\frac{d}{2}} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{d}{2} \quad \text{(2)} ]
Подставляем выражение для высоты в уравнение (1): Заменим ( h ) на ( \frac{d}{2} ) в уравнении (1): [ 32 = d^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ] [ 32 = d^2 + \frac{d^2}{4} ] Приведем к общему знаменателю: [ 32 = \frac{4d^2}{4} + \frac{d^2}{4} = \frac{5d^2}{4} ] Умножим обе стороны на 4: [ 128 = 5d^2 \quad \Rightarrow \quad d^2 = \frac{128}{5} \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{\frac{128}{5}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{10}}{5} ]
Находим высоту цилиндра ( h ): Подставим значение ( d ) в уравнение (2): [ h = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{10}}{5} = \frac{4\sqrt{10}}{5} ]
Находим боковую поверхность цилиндра: Боковая поверхность цилиндра ( S{б} ) вычисляется по формуле: [ S{б} = 2\pi r h ] Где ( r ) — радиус основания, равный ( \frac{d}{2} ): [ r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{5} ] Теперь подставим значения: [ S_{б} = 2\pi \cdot \frac{4\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{5} = 2\pi \cdot \frac{16 \cdot 10}{25} = 2\pi \cdot \frac{160}{25} = \frac{320\pi}{25} = \frac{64\pi}{5} ]
Итак, боковая поверхность цилиндра равна ( \frac{64\pi}{5} ).
Для решения задачи найдем боковую поверхность цилиндра, используя данные из условия:
Дан цилиндр, в котором:
Найти боковую поверхность цилиндра.
Осевым сечением цилиндра называется прямоугольник, образованный пересечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. В этом прямоугольнике:
Диагональ осевого сечения — это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого катеты равны ( h ) и ( 2R ). В задаче известно, что длина диагонали равна ( 4\sqrt{2} ), а угол между диагональю и плоскостью основания (основанием цилиндра) равен ( 45^\circ ).
Диагональ осевого сечения образует угол ( 45^\circ ) с плоскостью основания. Это означает, что проекция диагонали на плоскость основания равна высоте цилиндра ( h ). Другими словами: [ h = 2R. ]
Согласно теореме Пифагора, диагональ осевого сечения ( d ) выражается через катеты ( 2R ) и ( h ): [ d = \sqrt{(2R)^2 + h^2}. ] Подставим ( h = 2R ) (из Шага 1): [ d = \sqrt{(2R)^2 + (2R)^2} = \sqrt{2 \cdot (2R)^2} = 2R\sqrt{2}. ] По условию задачи, длина диагонали равна ( 4\sqrt{2} ). Приравняем: [ 2R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}. ] Разделим обе части на ( \sqrt{2} ): [ 2R = 4. ] Отсюда: [ R = 2. ]
Из Шага 1 мы знаем, что ( h = 2R ). Подставим ( R = 2 ): [ h = 2 \cdot 2 = 4. ]
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: [ S{\text{бок}} = 2\pi R h. ] Подставим значения ( R = 2 ) и ( h = 4 ): [ S{\text{бок}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 4 = 16\pi. ]
Боковая поверхность цилиндра равна: [ \boxed{16\pi}. ]
