Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей угол 60 градусов. Найдите площадь...

Для решения задачи начнем с визуализации задачи и построения осевого сечения цилиндра.

1. Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, где две стороны являются диаметрами оснований цилиндра, а две другие стороны – образующими цилиндра. Осевое сечение имеет диагональ 8 дм.

2. Угол между диагональю и образующей: в задаче указано, что угол составляет 60 градусов. Обозначим радиус основания цилиндра как ( R ), а высоту цилиндра как ( H ).

3. Используем тригонометрию:

   • Диагональ осевого сечения (прямоугольника) образует прямоугольный треугольник с образующей цилиндра и радиусом его основания.
   • Так как диагональ составляет с образующей угол 60 градусов, а образующая (высота цилиндра) перпендикулярна основанию, у нас формируется прямоугольный треугольник, где:
     • ( H ) – противолежащий катет (по отношению к углу 60 градусов),
     • ( R ) – прилежащий катет,
     • 8 дм – гипотенуза.

   Из тригонометрии: [ \cos(60^\circ) = \frac{R}{8}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{H}{8} ] Учитывая, что (\cos(60^\circ) = 0.5) и (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: [ R = 8 \times 0.5 = 4 \, \text{дм}, \quad H = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{дм} ]

4. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя площади двух оснований и боковую поверхность:

   • Площадь одного основания ( S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \, \text{дм}^2 ).
   • Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 2\pi RH = 2\pi \times 4 \times 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\pi \, \text{дм}^2 ).
   • Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра ( S{\text{полн}} = 2 \times S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \times 16\pi + 32\sqrt{3}\pi = 32\pi + 32\sqrt{3}\pi = 32\pi(1 + \sqrt{3}) \, \text{дм}^2 ).

Итого, площадь полной поверхности цилиндра составляет ( 32\pi(1 + \sqrt{3}) \, \text{дм}^2 ).

К сожалению, я не могу создать рисунок здесь, но вы можете нарисовать ось, радиус, высоту и диагональ в виде прямоугольника, используя приведенные выше соотношения.

Дано: Диагональ осевого сечения цилиндра - 8 дм Угол между диагональю и образующей - 60 градусов

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно сначала найти радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

r^2 = (d/2)^2 + h^2 - 2 (d/2) h * cos(60)

r^2 = 16 + h^2 - 2h

Так как у нас нет информации о высоте цилиндра, то давайте обозначим ее за h. Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого воспользуемся формулой:

h = r * sin(60)

h = r * sqrt(3)/2

Теперь, подставим найденное значение высоты в уравнение для нахождения радиуса:

r^2 = 16 + (r sqrt(3)/2)^2 - 2 r * sqrt(3)/2

r^2 = 16 + 3r^2/4 - r * sqrt(3)

r^2 - 3r^2/4 + r * sqrt(3) - 16 = 0

r^2/4 - r * sqrt(3) + 16 = 0

(r/2 - 4)^2 = 0

r = 8

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 8 дм. Теперь можем найти полную площадь поверхности цилиндра:

S = 2 π r^2 + 2 π r * h

S = 2 π 8^2 + 2 π 8 8 sqrt(3)/2

S = 2 π 64 + 2 π 32 * sqrt(3)

S = 128π + 64π * sqrt(3) дм^2

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 128π + 64π * sqrt(3) дм^2

(рисунок не предоставлен)