Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей угол 60 градусов. Найдите площадь...

Для решения задачи начнем с визуализации задачи и построения осевого сечения цилиндра.

1. Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, где две стороны являются диаметрами оснований цилиндра, а две другие стороны – образующими цилиндра. Осевое сечение имеет диагональ 8 дм.

2. Угол между диагональю и образующей: в задаче указано, что угол составляет 60 градусов. Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту цилиндра как $H$.

3. Используем тригонометрию:

   • Диагональ осевого сечения $прямоугольника$ образует прямоугольный треугольник с образующей цилиндра и радиусом его основания.
   • Так как диагональ составляет с образующей угол 60 градусов, а образующая $высотацилиндра$ перпендикулярна основанию, у нас формируется прямоугольный треугольник, где:
     • $H$ – противолежащий катет $поотношениюкуглу60градусов$,
     • $R$ – прилежащий катет,
     • 8 дм – гипотенуза.

   Из тригонометрии: $\cos ({60}^{\circ })=\frac{R}{8},\sin ({60}^{\circ })=\frac{H}{8}$ Учитывая, что $\cos ({60}^{\circ }$ = 0.5) и $\sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: $R=8\times 0.5=4\text{дм},H=8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{дм}$

4. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя площади двух оснований и боковую поверхность:

   • Площадь одного основания $S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi \times 4^2=16\pi {\text{дм}}^2$.
   • Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi \times 4\times 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}\pi {\text{дм}}^2$.
   • Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра ( S{\text{полн}} = 2 \times S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \times 16\pi + 32\sqrt{3}\pi = 32\pi + 32\sqrt{3}\pi = 32\pi$1+\sqrt{3}$ \, \text{дм}^2 ).

Итого, площадь полной поверхности цилиндра составляет $32\pi (1+\sqrt{3}$ \, \text{дм}^2 ).

К сожалению, я не могу создать рисунок здесь, но вы можете нарисовать ось, радиус, высоту и диагональ в виде прямоугольника, используя приведенные выше соотношения.

Дано: Диагональ осевого сечения цилиндра - 8 дм Угол между диагональю и образующей - 60 градусов

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно сначала найти радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

r^2 = $d/2$^2 + h^2 - 2 $d/2$ h * cos$60$

r^2 = 16 + h^2 - 2h

Так как у нас нет информации о высоте цилиндра, то давайте обозначим ее за h. Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого воспользуемся формулой:

h = r * sin$60$

h = r * sqrt$3$/2

Теперь, подставим найденное значение высоты в уравнение для нахождения радиуса:

r^2 = 16 + (r sqrt$3$/2)^2 - 2 r * sqrt$3$/2

r^2 = 16 + 3r^2/4 - r * sqrt$3$

r^2 - 3r^2/4 + r * sqrt$3$ - 16 = 0

r^2/4 - r * sqrt$3$ + 16 = 0

$r/2-4$^2 = 0

r = 8

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 8 дм. Теперь можем найти полную площадь поверхности цилиндра:

S = 2 π r^2 + 2 π r * h

S = 2 π 8^2 + 2 π 8 8 sqrt$3$/2

S = 2 π 64 + 2 π 32 * sqrt$3$

S = 128π + 64π * sqrt$3$ дм^2

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 128π + 64π * sqrt$3$ дм^2

$рисунокнепредоставлен$