Даны вершины треугольника A(7;-8;2) b(10;-8;-1) c(11;-4;2) найдите величину угла bac этого треугольника

Для нахождения величины угла BAC в треугольнике с заданными координатами вершин нужно выполнить несколько шагов. Опишу процесс пошагово:

1. Определение векторов:

   • Вектор ( \vec{AB} ) имеет координаты ( B - A ), то есть ( (10 - 7, -8 + 8, -1 - 2) = (3, 0, -3) ).
   • Вектор ( \vec{AC} ) имеет координаты ( C - A ), то есть ( (11 - 7, -4 + 8, 2 - 2) = (4, 4, 0) ).

2. Нахождение скалярного произведения векторов: [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 4 + 0 \times 4 + (-3) \times 0 = 12 + 0 + 0 = 12 ]

3. Нахождение модулей (длин) векторов:

   • ( |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} ).
   • ( |\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} ).

4. Расчёт угла:

   • Формула для угла между двумя векторами (\theta) через их скалярное произведение и модули: [ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{12}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{32}} ]
   • Сокращаем и получаем: [ \cos(\theta) = \frac{12}{\sqrt{576}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} ]
   • Найдём угол ( \theta ), зная, что ( \cos(\theta) = \frac{1}{2} ). Это соответствует ( \theta = 60^\circ ).

Итак, угол BAC в данном треугольнике равен 60 градусов.

Для нахождения величины угла BAC необходимо использовать формулу косинусов: cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 |AB| |AC|) Где AB, AC и BC - длины сторон треугольника, |AB| и |AC| - их модули. Подставив координаты вершин, найдем длины сторон: AB = sqrt((10-7)^2 + (-8+8)^2 + (-1-2)^2) = sqrt(9 + 0 + 9) = sqrt(18) AC = sqrt((11-7)^2 + (-4+8)^2 + (2-2)^2) = sqrt(16 + 16 + 0) = 4sqrt(2) BC = sqrt((11-10)^2 + (-4+8)^2 + (2+1)^2) = sqrt(1 + 16 + 9) = sqrt(26) Подставляем значения в формулу: cos(BAC) = (18 + 32 - 26) / (2 sqrt(18) 4sqrt(2)) = 24 / (8*sqrt(2)) = 3 / sqrt(2) = sqrt(2) Угол BAC = arccos(sqrt(2)) ≈ 45°.

Для нахождения величины угла BAC в треугольнике ABC, где A(7;-8;2), B(10;-8;-1), C(11;-4;2), можно воспользоваться формулой косинуса для нахождения угла между двумя векторами:

cos(∠BAC) = (AB AC) / |AB| |AC|

Где AB и AC - векторы, которые можно найти как разность координат точек B и A, C и A соответственно:

AB = B - A = (10-7; -8+8; -1-2) = (3; 0; -3) AC = C - A = (11-7; -4+8; 2-2) = (4; 4; 0)

|AB| = √(3^2 + 0^2 + (-3)^2) = √(9 + 0 + 9) = √18 |AC| = √(4^2 + 4^2 + 0^2) = √(16 + 16) = √32

AB AC = 34 + 04 + (-3)0 = 12

Теперь можем подставить все значения в формулу и вычислить косинус угла BAC:

cos(∠BAC) = 12 / (√18 * √32) = 12 / (6√8) = 2 / √2 = √2

Теперь найдем угол BAC, взяв арккосинус от полученного значения:

∠BAC = arccos(√2) ≈ 45 градусов

Таким образом, величина угла BAC в треугольнике ABC равна примерно 45 градусов.