Даны векторы a=i-2j и вектор b{-2;0;4}. найти значение m и n при которых векторы p=3a-1/2b и вектор...

Чтобы найти значения ( m ) и ( n ), при которых векторы ( \mathbf{p} = 3\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} = {8, m, n} ) коллинеарны, необходимо, чтобы один вектор был пропорционален другому. Это означает, что существует скаляр ( k ), такой что:

[ \mathbf{p} = k \mathbf{c} ]

Сначала найдём вектор ( \mathbf{p} ).

1. Вектор ( \mathbf{a} = {1, -2, 0} ) (в трёхмерной записи, добавив ноль для третьей компоненты).
2. Вектор ( \mathbf{b} = {-2, 0, 4} ).

Вычислим ( 3\mathbf{a} ):

[ 3\mathbf{a} = 3 \cdot {1, -2, 0} = {3, -6, 0} ]

Вычислим (-\frac{1}{2}\mathbf{b}):

[ -\frac{1}{2}\mathbf{b} = -\frac{1}{2} \cdot {-2, 0, 4} = {1, 0, -2} ]

Теперь найдём (\mathbf{p}):

[ \mathbf{p} = 3\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} = {3, -6, 0} + {1, 0, -2} = {4, -6, -2} ]

Для коллинеарности векторов (\mathbf{p}) и (\mathbf{c}), должно выполняться условие:

[ {4, -6, -2} = k{8, m, n} ]

Это приводит к системе уравнений:

1. ( 4 = 8k )
2. ( -6 = mk )
3. ( -2 = nk )

Решим первое уравнение для ( k ):

[ 4 = 8k \implies k = \frac{1}{2} ]

Подставим ( k = \frac{1}{2} ) во второе уравнение:

[ -6 = m \cdot \frac{1}{2} \implies m = -12 ]

Подставим ( k = \frac{1}{2} ) в третье уравнение:

[ -2 = n \cdot \frac{1}{2} \implies n = -4 ]

Таким образом, значения ( m ) и ( n ), при которых векторы (\mathbf{p}) и (\mathbf{c}) коллинеарны, равны ( m = -12 ) и ( n = -4 ).

Для того чтобы векторы p и c были коллинеарными, это означает, что они должны быть параллельными или сонаправленными. Два вектора коллинеарны, если один вектор равен другому умноженному на какое-то число.

Итак, у нас есть векторы p = 3a - 1/2b и c = {8, m, n}. Для того чтобы они были коллинеарными, должно существовать число k, такое что:

p = kc

Это можно записать в виде уравнения:

3a - 1/2b = k{8, m, n}

Теперь подставим значения векторов a и b:

3(i - 2j) - 1/2(-2, 0, 4) = k{8, m, n}

Упростим:

3i - 6j + (1, 0, -2) = k{8, m, n}

Теперь сравним координаты наших векторов:

3 = 8k -6 = mk -2 = nk

Из первого уравнения мы находим k = 3/8. Подставляем это значение во второе и третье уравнения:

m = -6 3/8 = -2.25 n = -2 3/8 = -0.75

Таким образом, значения m и n равны -2.25 и -0.75 соответственно.