Даны векторы a (2;0), b (1;2), c (-3;m) 1. Найдите значение m, при котором векторы b и a-2c перпендикулярны....

1. Для того чтобы векторы b и a-2c были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0: b (a-2c) = 0 (1;2) ((2;0) - 2(-3;m)) = 0 (1;2) (2+6;0+2m) = 0 (1;2) (8;2m) = 0 18 + 22m = 0 8 + 4m = 0 4m = -8 m = -2

2. Для того чтобы векторы a+b и c были коллинеарными, они должны быть пропорциональны: a+b = k c (2;0) + (1;2) = k (-3;m) (3;2) = k * (-3;m)

Из данного уравнения видно, что 3 = -3k и 2 = mk. Решая эту систему уравнений, получаем: k = -1 m = -2

Таким образом, значение m, при котором векторы a и b перпендикулярны, равно -2, а значение m, при котором векторы a+b и c коллинеарны, также равно -2.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства перпендикулярности и коллинеарности векторов.

1. Перпендикулярность векторов ( b ) и ( a - 2c )

Для того чтобы векторы ( b ) и ( a - 2c ) были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Вычислим вектор ( a - 2c ):

[ a = (2, 0), \quad c = (-3, m) ]

[ 2c = 2(-3, m) = (-6, 2m) ]

[ a - 2c = (2, 0) - (-6, 2m) = (2 + 6, 0 - 2m) = (8, -2m) ]

Теперь запишем вектор ( b ):

[ b = (1, 2) ]

Скалярное произведение векторов ( b ) и ( a - 2c ):

[ b \cdot (a - 2c) = (1, 2) \cdot (8, -2m) = 1 \cdot 8 + 2 \cdot (-2m) = 8 - 4m ]

Для перпендикулярности:

[ 8 - 4m = 0 ]

Решая уравнение, находим значение ( m ):

[ 4m = 8 \quad \Rightarrow \quad m = 2 ]

2. Коллинеарность векторов ( a + b ) и ( c )

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого, то есть компоненты одного вектора пропорциональны компонентам другого. Найдем вектор ( a + b ):

[ a + b = (2, 0) + (1, 2) = (3, 2) ]

Вектор ( c ) имеет вид:

[ c = (-3, m) ]

Для коллинеарности должно быть выполнено условие:

[ \frac{3}{-3} = \frac{2}{m} ]

Это дает:

[ -1 = \frac{2}{m} \quad \Rightarrow \quad m = -2 ]

Итак, мы нашли значения ( m ) для обоих условий:

1. ( m = 2 ) для перпендикулярности векторов ( b ) и ( a - 2c ).
2. ( m = -2 ) для коллинеарности векторов ( a + b ) и ( c ).