Даны точки Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Найти:
а) координаты векторов EF,GH; б) длину вектора FG;
в) координаты точки О – середины EF; координаты точки W – середины GH;
г) OW; EH;
д) уравнение окружности с диаметром FG;
е) уравнение прямой FH;
а) Для нахождения координат векторов, нам нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки:
Вектор EF: [ \vec{EF} = (F_x - E_x, F_y - E_y) = (-4 - 4, -10 - 12) = (-8, -22) ]
Вектор GH: [ \vec{GH} = (H_x - G_x, H_y - G_y) = (4 - (-2), -2 - 6) = (6, -8) ]
б) Длина вектора FG вычисляется по формуле: [ |\vec{FG}| = \sqrt{(G_x - F_x)^2 + (G_y - F_y)^2} = \sqrt{((-2) - (-4))^2 + (6 - (-10))^2} = \sqrt{2^2 + 16^2} = \sqrt{4 + 256} = \sqrt{260} \approx 16.12 ]
в) Координаты середин отрезков:
Точка O (середина EF): [ O_x = \frac{E_x + F_x}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = 0 ] [ O_y = \frac{E_y + F_y}{2} = \frac{12 + (-10)}{2} = 1 ] Таким образом, ( O(0, 1) ).
Точка W (середина GH): [ W_x = \frac{G_x + H_x}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 ] [ W_y = \frac{G_y + H_y}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = 2 ] Таким образом, ( W(1, 2) ).
г) Векторы OW и EH: [ \vec{OW} = (W_x - O_x, W_y - O_y) = (1 - 0, 2 - 1) = (1, 1) ] [ \vec{EH} = (H_x - E_x, H_y - E_y) = (4 - 4, -2 - 12) = (0, -14) ]
д) Уравнение окружности с диаметром FG: Центр окружности находится в середине FG, что мы уже нашли как точку O(0, 1). Радиус равен половине длины FG, т.е. (\frac{16.12}{2} \approx 8.06). [ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (8.06)^2 ] [ x^2 + (y - 1)^2 = 64.9636 ]
е) Уравнение прямой FH: Найдем уравнение прямой по двум точкам: [ \frac{y - F_y}{x - F_x} = \frac{H_y - F_y}{H_x - F_x} ] [ \frac{y + 10}{x + 4} = \frac{-2 + 10}{4 + 4} ] [ \frac{y + 10}{x + 4} = \frac{8}{8} ] [ y + 10 = x + 4 ] [ y = x - 6 ]
Вот ответы на ваши вопросы по геометрии, связанные с точками E, F, G, и H.
а) Координаты вектора EF: EF = (x2 - x1, y2 - y1) = (-4 - 4, -10 - 12) = (-8, -22)
Координаты вектора GH: GH = (x2 - x1, y2 - y1) = (-2 - 4, 6 - (-2)) = (-6, 8)
б) Длина вектора FG: FG = √[(-4 - (-2))^2 + (-10 - 6)^2] = √[(-2)^2 + (-16)^2] = √(4 + 256) = √260
в) Координаты точки О – середины EF: О = ((4 - 4)/2, (12 - 10)/2) = (0, 1)
Координаты точки W – середины GH: W = ((-2 - 4)/2, (6 - (-2))/2) = (-3, 4)
г) Вектор OW: OW = (0 - (-3), 1 - 4) = (3, -3)
Вектор EH: EH = (4 - 4, -2 - 12) = (0, -14)
д) Уравнение окружности с диаметром FG: Сначала найдем координаты центра окружности: x = (4 - 2)/2 = 1 y = (-10 + 6)/2 = -2
Радиус окружности равен половине длины диаметра: r = FG/2 = √260/2 = √65
Таким образом, уравнение окружности с диаметром FG: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 65
е) Уравнение прямой FH: Уравнение прямой задается уравнением Ax + By + C = 0. Найдем коэффициенты A, B, C, подставив координаты точек F и H: -4A - 10B + C = 0 4A - 2B + C = 0
Решив данную систему уравнений, получим уравнение прямой FH.
