Даны точки E(-1;4), M(2;-3), F(1;-3), K(4;4). а) разложите вектор EM по координатнымвекторам i и j б)...

а) Вектор EM можно разложить по координатным векторам i и j следующим образом: EM = (2 - (-1); -3 - 4) = (3; -7)

б) Для того чтобы доказать, что EM пересекает FK, нужно убедиться, что точки E, M, F и K лежат на одной прямой. Для этого можно проверить, что угол между векторами EM и FK равен 180 градусов.

в) Уравнение прямой MF можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: y = kx + b, где k - коэффициент наклона прямой, а b - свободный член. Для этого нужно найти коэффициент наклона k, который равен (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек M и F. Далее подставляем координаты одной из точек (например, M(2, -3)) и найденный коэффициент наклона в уравнение прямой.

Для решения задач по геометрии с указанными точками начнем с разложения вектора, затем докажем пересечение отрезков и, наконец, найдем уравнение прямой.

а) Разложение вектора EM по координатным векторам i и j

Вектор EM можно представить как разность координат точки M и точки E:

• Координаты точки E: ((-1, 4))
• Координаты точки M: ((2, -3))

Вектор EM: [ \overrightarrow{EM} = (2 - (-1), -3 - 4) = (3, -7) ]

Разложение вектора EM по координатным векторам (\mathbf{i}) и (\mathbf{j}): [ \overrightarrow{EM} = 3\mathbf{i} - 7\mathbf{j} ]

б) Доказательство, что EM пересекает FK

Для доказательства пересечения отрезков EM и FK, используем метод параметрических уравнений и проверку на пересечение.

Параметрическое уравнение для отрезка EM:

Пусть ( \overrightarrow{r_1}(t) = (1-t)E + tM ), где ( t \in [0, 1] ). [ \overrightarrow{r_1}(t) = (1-t)(-1, 4) + t(2, -3) = (-1 + 3t, 4 - 7t) ]

Параметрическое уравнение для отрезка FK:

Пусть ( \overrightarrow{r_2}(s) = (1-s)F + sK ), где ( s \in [0, 1] ). [ \overrightarrow{r_2}(s) = (1-s)(1, -3) + s(4, 4) = (1 + 3s, -3 + 7s) ]

Для пересечения отрезков уравняем параметры: [ -1 + 3t = 1 + 3s \quad \text{и} \quad 4 - 7t = -3 + 7s ]

Решая систему уравнений:

1. (-1 + 3t = 1 + 3s \Rightarrow 3t - 3s = 2 \Rightarrow t - s = \frac{2}{3})
2. (4 - 7t = -3 + 7s \Rightarrow 7t + 7s = 7 \Rightarrow t + s = 1)

Решаем систему:

• (t - s = \frac{2}{3})
• (t + s = 1)

Складываем уравнения: (2t = \frac{5}{3} \Rightarrow t = \frac{5}{6})

Подставляем (t) в одно из уравнений: (s = \frac{1}{6})

Оба параметра (t) и (s) лежат в пределах от 0 до 1, значит отрезки EM и FK пересекаются.

в) Уравнение прямой MF

Прямая MF проходит через точки M(2, -3) и F(1, -3). Поскольку у обоих точек одна и та же координата y, прямая горизонтальна.

Уравнение прямой: [ y = -3 ]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки M и F, — это горизонтальная линия (y = -3).

а) Вектор EM = (2 - (-1), -3 - 4) = (3, -7)

б) Для того чтобы доказать, что EM пересекает FK, достаточно показать, что точки E, M, F и K лежат на одной прямой. Для этого можно проверить, что векторы EM и FK коллинеарны.

в) Уравнение прямой MF можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: y = kx + b, где k - угловой коэффициент и b - свободный член. Для нахождения уравнения прямой MF нужно найти угловой коэффициент k и свободный член b, используя координаты точек M и F.