Даны точки А(-2:2) В(2:2) С(4:-2) D(0:-4)
а) Запишите уравнение окружности с диаметром АВ (вектор) б) Выяснить взаимное расположение окружности и точек С и D в) Запишите уравнение прямой ВD г) Докажите, что АВСD- квадрат
Даны точки А(-2:2) В(2:2) С(4:-2) D(0:-4)
а) Запишите уравнение окружности с диаметром АВ (вектор) б) Выяснить взаимное расположение окружности и точек С и D в) Запишите уравнение прямой ВD г) Докажите, что АВСD- квадрат
Конечно, давайте разберем каждый из пунктов по порядку.
а) Уравнение окружности с диаметром AB
Диаметр окружности — это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки. Нам даны точки (A(-2, 2)) и (B(2, 2)).
Сначала найдем координаты середины отрезка AB, которая является центром окружности. Центр окружности: [ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (0, 2) ]
Теперь найдем радиус окружности. Радиус равен половине длины диаметра AB. Длина отрезка AB: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 ]
Радиус окружности: [ R = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]
Теперь можем записать уравнение окружности с центром в (0, 2) и радиусом 2: [ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 ] [ x^2 + (y - 2)^2 = 4 ]
б) Взаимное расположение окружности и точек C и D
Проверим, лежат ли точки (C(4, -2)) и (D(0, -4)) на окружности, внутри нее или вне ее. Для этого подставим координаты точек в уравнение окружности.
Для точки C(4, -2): [ 4^2 + (-2 - 2)^2 = 16 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32 ] 32 > 4, значит, точка C лежит вне окружности.
Для точки D(0, -4): [ 0^2 + (-4 - 2)^2 = 0 + (-6)^2 = 0 + 36 = 36 ] 36 > 4, значит, точка D лежит вне окружности.
в) Уравнение прямой BD
Используем уравнение прямой через две точки. Точки (B(2, 2)) и (D(0, -4)). Уравнение прямой в общем виде (y = kx + b), где (k) — это наклон (коэффициент угла наклона).
Найдем наклон (k): [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 2}{0 - 2} = \frac{-6}{-2} = 3 ]
Теперь найдем (b), подставив координаты одной из точек, например, точки B(2, 2): [ 2 = 3 \cdot 2 + b ] [ 2 = 6 + b ] [ b = 2 - 6 = -4 ]
Таким образом, уравнение прямой BD: [ y = 3x - 4 ]
г) Докажем, что ABCD — квадрат
Для доказательства, что четырёхугольник является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны и все углы прямые.
AB: [ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 0} = 4 ]
BC: [ BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]
CD: [ CD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]
DA: [ DA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]
Рассмотрим диагонали: AC: [ AC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} ]
BD: [ BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} ]
Все стороны равны: [ AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{5} ]
Для этого нужно проверить, что скалярное произведение векторов, образующих углы, равно нулю.
[ \vec{AB} = (4,0) ] [ \vec{BC} = (2,-4) ] [ \vec{CD} = (-4,-2) ] [ \vec{DA} = (-2,6) ]
[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot (-4) = 8 \neq 0 ] [ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-2) = -8 + 8 = 0 ] [ \vec{CD} \cdot \vec{DA} = -4 \cdot (-2) + (-2) \cdot 6 = 8 - 12 = -4 ] [ \vec{DA} \cdot \vec{AB} = -2 \cdot 4 + 6 \cdot 0 = -8 \neq 0 ]
Таким образом, ABCD не является квадратом, так как не все углы являются прямыми.
а) Для того чтобы найти уравнение окружности с диаметром АВ, нужно найти центр окружности (середина отрезка АВ) и радиус (половина длины отрезка АВ).
Центр окружности будет находиться посередине отрезка АВ, то есть его координаты будут ((-2 + 2) / 2, (2 + 2) / 2) = (0, 2).
Радиус окружности равен половине длины отрезка АВ, то есть равен половине длины вектора AB, что равно sqrt((2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2) / 2 = 2.
Таким образом, уравнение окружности с диаметром АВ имеет вид: (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2.
б) Чтобы выяснить взаимное расположение окружности и точек C и D, нужно подставить координаты точек в уравнение окружности. Если результат будет равен 0, то точка лежит на окружности, если меньше 0 - внутри, если больше 0 - снаружи.
c) Уравнение прямой BD можно найти, зная координаты точек B и D. Уравнение прямой задается в виде y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член.
Угловой коэффициент k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 2) / (0 - 2) = -6 / -2 = 3.
Теперь подставим координаты точки B(2, 2) в уравнение прямой: 2 = 3 * 2 + b => b = -4.
Таким образом, уравнение прямой BD имеет вид y = 3x - 4.
г) Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, нужно проверить, что стороны фигуры параллельны и равны между собой, а также углы прямые.
Стороны AB и CD параллельны и равны по условию. Точно так же стороны AD и BC также параллельны и равны.
Углы AB и BC прямые, так как они являются диагоналями квадрата.
Таким образом, все условия квадрата выполняются, следовательно, ABCD - квадрат.
а) Уравнение окружности с диаметром АВ: (x-0)(x-4) + (y+4)(y-2) = 0 б) Окружность пересекает точки С и D, так как они лежат на ней в) Уравнение прямой ВD: y = 2 г) Для доказательства того, что АВСD - квадрат, нужно показать, что все стороны равны, а углы прямые.
