Даны точки А (0;0), В (2;2), С (5;1). Найдите скалярное произведение векторов АВ(ВС-СА).это все вектора....

Для начала найдем координаты векторов ( \vec{AB} ), ( \vec{BC} ) и ( \vec{CA} ):

1. ( \vec{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - 0) = (2, 2) )
2. ( \vec{BC} = C - B = (5 - 2, 1 - 2) = (3, -1) )
3. ( \vec{CA} = A - C = (0 - 5, 0 - 1) = (-5, -1) )

Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} - \vec{CA} ): [ \vec{BC} - \vec{CA} = (3 + 5, -1 + 1) = (8, 0) ] Скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot (\vec{BC} - \vec{CA}) ) будет равно: [ \vec{AB} \cdot (8, 0) = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 0 = 16 ]

Теперь докажем, что треугольник ABC тупоугольный. Для этого достаточно показать, что один из углов треугольника тупой. Скалярные произведения векторов, соответствующих сторонам треугольника, помогут нам в этом:

• Скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{BC} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2, 2) \cdot (3, -1) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 6 - 2 = 4 ]

• Скалярное произведение ( \vec{BC} \cdot \vec{CA} ): [ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = (3, -1) \cdot (-5, -1) = 3 \cdot (-5) - 1 \cdot 1 = -15 - 1 = -16 ]

• Скалярное произведение ( \vec{CA} \cdot \vec{AB} ): [ \vec{CA} \cdot \vec{AB} = (-5, -1) \cdot (2, 2) = -5 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = -10 - 2 = -12 ]

Обратите внимание на скалярное произведение ( \vec{BC} \cdot \vec{CA} ), оно отрицательно. Это значит, что угол между векторами ( \vec{BC} ) и ( \vec{CA} ), который соответствует углу ( B ) треугольника ( ABC ), тупой (поскольку косинус тупого угла отрицателен). Таким образом, треугольник ( ABC ) является тупоугольным.

Скалярное произведение векторов АВ(ВС-СА) равно 0, что означает, что векторы АВ и ВС-СА перпендикулярны. Таким образом, треугольник АВС является тупоугольным.

Для начала найдем координаты векторов AB, BC и CA:

AB = (2-0; 2-0) = (2; 2) BC = (5-2; 1-2) = (3; -1) CA = (0-5; 0-1) = (-5; -1)

Теперь найдем вектор (BC - CA):

BC - CA = (3; -1) - (-5; -1) = (3+5; -1+1) = (8; 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и (BC - CA):

AB (BC - CA) = 28 + 2*0 = 16

Так как скалярное произведение векторов AB и (BC - CA) не равно нулю, то треугольник ABC не является прямоугольным.