Даны координаты точек: С(3;-2;1), D(-1;2;1), M(2;-3;3), N(-1;1;-2). Найдите косинус угла между векторами .CD и MN
Даны координаты точек: С(3;-2;1), D(-1;2;1), M(2;-3;3), N(-1;1;-2). Найдите косинус угла между векторами .CD и MN
Для начала найдем координаты векторов ( \vec{CD} ) и ( \vec{MN} ) по формуле ( \vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) ).
Координаты вектора ( \vec{CD} ): [ \vec{CD} = D - C = (-1 - 3; 2 + 2; 1 - 1) = (-4; 4; 0). ]
Координаты вектора ( \vec{MN} ): [ \vec{MN} = N - M = (-1 - 2; 1 + 3; -2 - 3) = (-3; 4; -5). ]
Далее, чтобы найти косинус угла между этими векторами, используем формулу для скалярного произведения векторов: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, ] и формулу для модулей (длин) векторов: [ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}. ]
Скалярное произведение ( \vec{CD} \cdot \vec{MN} ): [ \vec{CD} \cdot \vec{MN} = (-4) \cdot (-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28. ]
Модуль вектора ( \vec{CD} ): [ |\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]
Модуль вектора ( \vec{MN} ): [ |\vec{MN}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]
Теперь можно найти косинус угла между векторами ( \vec{CD} ) и ( \vec{MN} ): [ \cos \theta = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{MN}}{|\vec{CD}| |\vec{MN}|} = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{40} = 0.7. ]
Итак, косинус угла между векторами ( \vec{CD} ) и ( \vec{MN} ) равен 0.7.
Для начала найдем вектора CD и MN.
Вектор CD можно найти как разность координат точек D и C: CD = D - C = (-1 - 3; 2 - (-2); 1 - 1) = (-4; 4; 0)
Вектор MN можно найти как разность координат точек N и M: MN = N - M = (-1 - 2; 1 - (-3); -2 - 3) = (-3; 4; -5)
Теперь найдем скалярное произведение векторов CD и MN: CD MN = (-4 -3) + (4 4) + (0 -5) = 12 + 16 + 0 = 28
Длины векторов CD и MN можно найти по формуле: |CD| = √((-4)^2 + 4^2 + 0^2) = √(16 + 16) = √32 |MN| = √((-3)^2 + 4^2 + (-5)^2) = √(9 + 16 + 25) = √50
Теперь найдем косинус угла между векторами CD и MN по формуле: cos(θ) = (CD MN) / (|CD| |MN|) = 28 / (√32 √50) = 28 / (√(32 50)) = 28 / √(1600) = 28 / 40 = 7 / 10
Таким образом, косинус угла между векторами CD и MN равен 7/10.
