Дано: треугольник АВС, АВ=1 см, АС= корень из 2, угол С= 30 градусов. Найдите угол В.

Для решения задачи нам нужно найти угол ( B ) в треугольнике ( \triangle ABC ), где даны стороны ( AB = 1 ) см, ( AC = \sqrt{2} ) см и угол ( \angle C = 30^\circ ).

Шаг 1: Использование косинусовой теоремы

Для начала, применим косинусовую теорему, которая гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

В нашем случае:

• ( a = AB = 1 ) см
• ( b = AC = \sqrt{2} ) см
• ( \gamma = \angle C = 30^\circ )
• ( c = BC ) (сторона, которую мы будем искать)

Подставим эти значения в формулу косинусовой теоремы: [ BC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(30^\circ) ]

Известно, что (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}). Подставим это значение: [ BC^2 = 1 + 2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ BC^2 = 3 - \sqrt{6} ] [ BC = \sqrt{3 - \sqrt{6}} ]

Шаг 2: Использование синусовой теоремы

Теперь применим синусовую теорему для нахождения угла ( B ). Синусовая теорема гласит: [ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} ]

Мы знаем:

• ( a = 1 ) см
• ( b = \sqrt{2} ) см
• ( \gamma = 30^\circ )

Найдем (\sin(30^\circ)): [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ]

Применим синусовую теорему для нахождения (\sin(\beta)): [ \frac{\sqrt{2}}{\sin(B)} = \frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sin(30^\circ)} ] [ \frac{\sqrt{2}}{\sin(B)} = \frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\frac{1}{2}} ] [ \frac{\sqrt{2}}{\sin(B)} = 2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} ] [ \sin(B) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}}} ]

Шаг 3: Нахождение угла ( B )

Теперь нам нужно найти значение угла ( B ), зная (\sin(B)). Мы можем использовать обратную функцию синуса (арксинус) для этого.

Однако, заметим, что (\sin(B)) может быть выражен более простым способом. В треугольниках с углом ( 30^\circ ) часто встречаются особенности, упрощающие вычисления. Следовательно, для точного значения угла ( B ), его можно рассчитать, если выразить треугольник через известные тригонометрические функции.

Заключение

Для точного нахождения угла ( B ) обычно используется более удобное преобразование тригонометрических функций или численный метод. В данном случае, приближенно, учитывая специфику углов, можем предположить, что угол ( B ) можно найти из уравнения: [ \sin(B) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}}} ]

Подставляя это значение в арксинус, получим угол ( B ).

Итог

Таким образом, угол ( B ) можно найти как: [ B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}}}\right) ]

Этот угол будет численно решаться с помощью калькулятора или тригонометрических таблиц.

Для нахождения угла В воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть угол B = x. Тогда применим теорему косинусов для треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos(∠B)

Подставляем известные значения:

(√2)^2 = 1^2 + BC^2 - 2 1 BC cos(x) 2 = 1 + BC^2 - 2BC cos(x) BC^2 - 2BC * cos(x) - 1 = 0

Для нахождения угла В найдем значение cos(x):

cos(x) = (BC^2 + 1 - BC^2) / (2 BC) cos(x) = 1 / (2 BC) cos(x) = 1 / (2 * √2) cos(x) = √2 / 4

Теперь найдем угол В:

cos(x) = cos(30) √2 / 4 = √3 / 2 x = 45 градусов

Таким образом, угол B равен 45 градусов.