Дано: ABCD-четырехугольник А (4;1) B (3;5) C (-1;4) D (0;0) Док-ать: АВСД-прямоугольник

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что все его углы прямые. Для этого мы можем использовать векторный метод и проверку перпендикулярности сторон.

1. Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:

   • Вектор AB: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 4, 5 - 1) = (-1, 4) ]
   • Вектор BC: [ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 3, 4 - 5) = (-4, -1) ]
   • Вектор CD: [ \overrightarrow{CD} = D - C = (0 + 1, 0 - 4) = (1, -4) ]
   • Вектор DA: [ \overrightarrow{DA} = A - D = (4 - 0, 1 - 0) = (4, 1) ]

2. Проверим перпендикулярность сторон путем нахождения скалярного произведения векторов:

   • Вектора AB и BC: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \cdot (-4) + 4 \cdot (-1) = 4 - 4 = 0 ] Скалярное произведение равно нулю, значит, вектора AB и BC перпендикулярны, и угол ABC прямой.

   • Вектора BC и CD: [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4) \cdot 1 + (-1) \cdot (-4) = -4 + 4 = 0 ] Скалярное произведение равно нулю, значит, вектора BC и CD перпендикулярны, и угол BCD прямой.

   • Вектора CD и DA: [ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (1) \cdot 4 + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0 ] Скалярное произведение равно нулю, значит, вектора CD и DA перпендикулярны, и угол CDA прямой.

   • Вектора DA и AB: [ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (4) \cdot (-1) + (1) \cdot 4 = -4 + 4 = 0 ] Скалярное произведение равно нулю, значит, вектора DA и AB перпендикулярны, и угол DAB прямой.

Таким образом, все четыре угла четырехугольника ABCD являются прямыми, что доказывает, что данный четырехугольник является прямоугольником.

Для доказательства того, что ABCD - прямоугольник, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и длины смежных сторон равны.

1. Проверим параллельность сторон AB и CD. Для этого вычислим коэффициенты наклона прямых AB и CD. Коэффициент наклона прямой через точки (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле k = (y2 - y1) / (x2 - x1). Для AB: k(AB) = (5 - 1) / (3 - 4) = 4 / -1 = -4 Для CD: k(CD) = (0 - 4) / (0 - (-1)) = -4 / 1 = -4 Таким образом, коэффициенты наклона равны, что означает, что стороны AB и CD параллельны.

2. Проверим параллельность сторон BC и AD. Аналогично вычислим коэффициенты наклона прямых BC и AD. Для BC: k(BC) = (4 - 5) / (-1 - 3) = -1 / -4 = 1/4 Для AD: k(AD) = (0 - 1) / (0 - 4) = -1 / -4 = 1/4 Коэффициенты наклона равны, что означает, что стороны BC и AD параллельны.

3. Длины смежных сторон: AB = √((3 - 4)^2 + (5 - 1)^2) = √((-1)^2 + 4^2) = √(1 + 16) = √17 BC = √((-1 - 0)^2 + (4 - 5)^2) = √(1 + 1) = √2 CD = √((0 - 0)^2 + (0 - 4)^2) = √(0 + 16) = √16 = 4 AD = √((0 - 4)^2 + (0 - 1)^2) = √(16 + 1) = √17

Таким образом, мы видим, что противоположные стороны параллельны (AB || CD, BC || AD) и длины смежных сторон равны (AB = CD, BC = AD). Следовательно, ABCD - прямоугольник.

Для того чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, необходимо показать, что все углы этого четырехугольника прямые.