Дано: А(2 ; - 4), В(-2;-6), С(0 ;7). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.
Дано: А(2 ; - 4), В(-2;-6), С(0 ;7). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.
Давайте решим каждый пункт задачи пошагово.
а) Координаты вектора ВС. Чтобы найти координаты вектора ВС, нужно вычесть координаты начальной точки В из координат конечной точки С: [ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - (-2); 7 - (-6)) = (2; 13) ]
б) Длина вектора АВ. Длина вектора между двумя точками А и В вычисляется по формуле: [ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{((-2) - 2)^2 + ((-6) + 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]
в) Координаты середины отрезка АС. Координаты середины отрезка между двумя точками находятся по формуле: [ M_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{-4 + 7}{2}\right) = (1, 1.5) ]
г) Периметр треугольника АВС. Для нахождения периметра треугольника нужно знать длину всех его сторон. Мы уже нашли длину AB. Теперь найдем длины сторон AC и BC: [ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (7 + 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} ] [ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(0 + 2)^2 + (7 + 6)^2} = \sqrt{2^2 + 13^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173} ]
Периметр P треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: [ P = AB + AC + BC = 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + \sqrt{173} = 7\sqrt{5} + \sqrt{173} ]
д) Длина медианы ВМ (где M - середина AC). Длина медианы BM в треугольнике, проведенной из вершины B к середине противоположной стороны AC, вычисляется по формуле: [ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (1.5 + 6)^2} = \sqrt{3^2 + 7.5^2} = \sqrt{9 + 56.25} = \sqrt{65.25} ]
Таким образом, длина медианы BM приблизительно равна (\sqrt{65.25}).
а) Координаты вектора ВС: Вектор ВС = (0 - (-2), 7 - (-6)) = (2, 13)
б) Длина вектора АВ: Длина вектора АВ = √((-2 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2) = √((-4)^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
в) Координаты середины отрезка АС: Середина отрезка АС имеет координаты ((2 + 0)/2, (-4 + 7)/2) = (1, 1.5)
г) Периметр треугольника АВС: Периметр треугольника АВС = длина отрезка АВ + длина отрезка ВС + длина отрезка AC Периметр треугольника АВС = 2√5 + √(2^2 + 13^2) + √(2^2 + 11^2) = 2√5 + √173 + √125
д) Длина медианы ВМ: Медиана треугольника делит сторону пополам, поэтому длина медианы ВМ равна половине длины стороны АС: Длина медианы ВМ = √((0 - (-2))^2 + (7 - (-4))^2)/2 = √(2^2 + 11^2)/2 = √(4 + 121)/2 = √125/2 = 5√5/2
а) Координаты вектора ВС: (-2 - 0; -6 - 7) = (-2; -13) б) Длина вектора АВ: √((-2 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 в) Координаты середины отрезка АС: ((2 + 0)/2; (-4 + 7)/2) = (1; 1.5) г) Периметр треугольника АВС: AB + AC + BC = √20 + √89 + √170 д) Длина медианы ВМ: √((-2 + 0)^2 + (-6 + 7)^2) = √4 + 1 = √5
