Дана треугольная пирамида, со сторонами 4 см 5 см и 7 см, высота пирамиды равна 12 см. Найдите объем...

Чтобы найти объём треугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой:

[ V = \frac{1}{3} S_b h ]

где ( V ) — объём пирамиды, ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

В данном случае основанием пирамиды является треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. Сначала найдём площадь этого треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона.

1. Находим полупериметр ( p ) треугольника:

[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = 8 \text{ см} ]

где ( a = 4 ) см, ( b = 5 ) см и ( c = 7 ) см.

1. Вычисляем площадь ( S_b ) по формуле Герона:

[ S_b = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

Подставляем значения:

[ S_b = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

1. Теперь находим объём пирамиды. Высота ( h = 12 ) см.

Подставим найденные значения в формулу объёма:

[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} (2\sqrt{6}) (12) = \frac{24\sqrt{6}}{3} = 8\sqrt{6} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объём треугольной пирамиды равен ( 8\sqrt{6} ) см³.

Давайте разберемся с задачей по порядку.

Дано:

1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.
2. Высота пирамиды — 12 см.
3. Необходимо найти объем пирамиды.

Шаг 1: Формула объема пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

[ V = \frac{1}{3} S \cdot h, ]

где:

• ( S ) — площадь основания,
• ( h ) — высота пирамиды (перпендикулярная расстояние от вершины пирамиды до основания).

В нашей задаче ( h = 12 \, \text{см} ). Для завершения решения нужно найти площадь основания ( S ), которое является треугольником со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.

Шаг 2: Вычисление площади основания (треугольника)

Чтобы найти площадь треугольника с известными сторонами, используем формулу Герона:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ]

где:

• ( a, b, c ) — стороны треугольника,
• ( p ) — полупериметр треугольника, который вычисляется как:

[ p = \frac{a + b + c}{2}. ]

Подставим значения сторон треугольника ( a = 4 \, \text{см}, b = 5 \, \text{см}, c = 7 \, \text{см} ):

[ p = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см}. ]

Теперь найдем площадь ( S ):

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)}. ]

Посчитаем пошагово:

• ( p - a = 8 - 4 = 4 ),
• ( p - b = 8 - 5 = 3 ),
• ( p - c = 8 - 7 = 1 ).

Подставим:

[ S = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96}. ]

Упростим корень:

[ S = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \, \text{см}^2. ]

Шаг 3: Найдем объем пирамиды

Теперь, когда площадь основания ( S = 4\sqrt{6} \, \text{см}^2 ), подставим все значения в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 12. ]

Упростим:

[ V = \frac{1}{3} \cdot 48\sqrt{6} = 16\sqrt{6} \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объем пирамиды равен:

[ V = 16\sqrt{6} \, \text{см}^3 \ (\text{приблизительно } 39.2 \, \text{см}^3). ]