Дана трапеция ABCD с основаниями AD=15 и BC=10, O- точка пересечения диагоналей. разложите вектор BO...

Для решения задачи о разложении вектора BO по векторам AD и AB, сначала определим некоторые ключевые свойства трапеции и ее диагоналей.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC имеет следующие свойства:

• Диагонали трапеции пересекаются в одной точке (точка O), и точка пересечения делит каждую диагональ на два отрезка, пропорциональные основаниям трапеции.

Дано:

• AD = 15
• BC = 10
• O — точка пересечения диагоналей

Нам нужно разложить вектор BO по векторам AD и AB.

1. Выразим точки пересечения диагоналей через векторы.

Диагонали пересекаются в точке O, и эта точка делит диагонали на части пропорциональные основаниям трапеции. Обозначим длину диагоналей AC и BD, чтобы упростить дальнейшие рассуждения:

• Пусть диагональ AC делится в точке O на отрезки AO и OC так, что (\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}).
• Пусть диагональ BD делится в точке O на отрезки BO и OD так, что (\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}).

1. Представим векторы через линейные комбинации.

Для того чтобы разложить вектор BO по векторам AD и AB, выразим точку O через координаты точек пересечения:

• Пусть точка O делит диагональ AC в отношении 3:2 (так как AO/OC = 3/2).
• Пусть точка O делит диагональ BD в отношении 2:3 (так как BO/OD = 2/3).

1. Используем соотношения.

Вектор BO можно выразить через точки пересечения диагоналей: [ \overrightarrow{BO} = \lambda \overrightarrow{BD} ]

где (\lambda) — коэффициент пропорциональности.

1. Вычислим коэффициенты разложения.

Зададим векторные выражения:

• Пусть (\overrightarrow{A}) — начало координат.
• Вектор (\overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A} + a).
• Вектор (\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} + b).

Точка O делит диагонали в известном отношении: [ \overrightarrow{O} = \frac{3}{5} \overrightarrow{A} + \frac{2}{5} \overrightarrow{C} = \frac{3}{5} \overrightarrow{A} + \frac{2}{5} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}) ]

Вектор (\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}), но поскольку (\overrightarrow{BC}) неизвестен, используем (\overrightarrow{AB}).

1. Решим систему уравнений для разложения.

Используем линейные комбинации: [ \overrightarrow{BO} = x\overrightarrow{AD} + y\overrightarrow{AB} ]

Известно, что (\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} = b + a).

Таким образом: [ \overrightarrow{BO} = \frac{2}{5}(b + a) ]

Или в разложенной форме: [ \overrightarrow{BO} = \frac{2}{5}a + \frac{2}{5}b ]

Итак, вектор BO разложен по векторам AD и AB следующим образом: [ \overrightarrow{BO} = \frac{2}{5}a + \frac{2}{5}b ]

Это и является искомым разложением вектора BO по векторам AD и AB.

Для начала найдем координаты точки O. Поскольку точка O - точка пересечения диагоналей трапеции, то она является точкой пересечения медиан и делит их в отношении 2:1. Так как диагонали пересекаются в точке O, то O - точка пересечения прямой, проходящей через середину стороны AD и точку B, и прямой, проходящей через середину стороны BC и точку D.

Координаты середины стороны AD: (15/2, 0) Координаты точки B: (0, 10) Уравнение прямой, проходящей через эти точки: y = -2x + 10 Так как O делит отрезок AD в отношении 2:1, то координаты точки O: (15/3, 0) = (5, 0)

Аналогично, координаты середины стороны BC: (0, 5) Координаты точки D: (15, 0) Уравнение прямой, проходящей через эти точки: y = (2/3)x + 5 Так как O делит отрезок BC в отношении 2:1, то координаты точки O: (20 + 15/3, 25 + 0) = (5, 10)

Теперь найдем вектор BO. Вектор BO можно представить как сумму векторов AO и AB: BO = AO + AB

Вектор AO: (5 - 0)i + (0 - 0)j = 5i Вектор AB: (0 - 0)i + (10 - 0)j = 10j

Подставляем значения в выражение для BO: BO = 5i + 10j = 5(1, 0) + 10(0, 1) = 5(AD) + 10(AB) = 5a + 10b

Таким образом, вектор BO можно разложить по векторам AD и AB следующим образом: BO = 5a + 10b.

Вектор BO = 2a + b.