Дана прямоугольная трапеция,меньшее основание которой равно 6 см,а радиус вписанной в неё окружности - 4см.Найдите площадь трапеции
Дана прямоугольная трапеция,меньшее основание которой равно 6 см,а радиус вписанной в неё окружности - 4см.Найдите площадь трапеции
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, можно воспользоваться формулой, которая связывает радиус вписанной окружности, основание и высоту трапеции. Площадь ( S ) прямоугольной трапеции может быть выражена через её основания и высоту по формуле:
[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h ]
где ( a ) и ( b ) — это длины оснований, а ( h ) — высота трапеции.
Также существует другая формула, которая связывает радиус вписанной окружности ( r ) и площадь трапеции:
[ S = r \cdot p ]
где ( p ) — полупериметр трапеции. Полупериметр рассчитывается как:
[ p = \frac{a + b + c + d}{2} ]
где ( c ) и ( d ) — это длины боковых сторон трапеции. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон равна высоте ( h ).
В данной задаче известно, что:
Обозначим большее основание как ( b ), высоту как ( h ), а боковые стороны как ( c ) и ( d ).
Так как трапеция прямоугольная, то можно заметить, что боковые стороны равны высоте ( h ) и одной из боковых сторон. Одна из боковых сторон является высотой, а другая — также высота, так как она перпендикулярна основанию.
Теперь, полупериметр можно выразить как:
[ p = \frac{a + b + h + h}{2} = \frac{a + b + 2h}{2} ]
Подставим это в формулу площади через радиус вписанной окружности:
[ S = r \cdot p = 4 \cdot \frac{6 + b + 2h}{2} = 2(6 + b + 2h) ]
Теперь необходимо выразить высоту ( h ). В прямоугольной трапеции радиус вписанной окружности можно также выразить через основания и высоту, используя формулу:
[ r = \frac{S}{p} ]
Таким образом,
[ S = r \cdot p \implies S = 4 \cdot \frac{6 + b + 2h}{2} = 2(6 + b + 2h) ]
Теперь нам нужно определить связь между основанием, высотой и радиусом. Для прямоугольной трапеции есть ещё одно соотношение, которое может помочь:
[ r = \frac{h}{2} \cdot \frac{(a + b)}{(a - b)} ]
Зная радиус и одно основание, мы можем выразить высоту через ( b ):
[ h = 2r = 8 \, \text{см} ]
Теперь у нас есть все необходимые значения для площади. Подставляем высоту обратно в формулу площади:
Мы уже знаем, что:
[ S = 4 \cdot \frac{6 + b + 16}{2} ]
Теперь нам нужно определить ( b ). Для этого можно использовать соотношения, которые связывают радиус, основания и высоту. В данном случае, используя известные значения, можно решить систему уравнений, чтобы найти ( b ).
Если ( b = 10 ), тогда подставив значения, получаем:
[ S = \frac{(6 + 10)}{2} \cdot 8 = 8 \cdot 8 = 64 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции составляет ( 64 \, \text{см}^2 ).
Рассмотрим задачу с прямоугольной трапецией, в которую можно вписать окружность. Чтобы решить её, начнем с анализа условий и использования свойств трапеции.
Требуется найти площадь трапеции.
Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, суммы длин её оснований равны сумме длин боковых сторон. То есть выполняется следующее соотношение: [ a + b = c + d, ] где:
Если в трапецию можно вписать окружность, её площадь (S) можно вычислить через радиус вписанной окружности (r) и полупериметр (p): [ S = r \cdot p, ] где (p) — полупериметр трапеции, равный: [ p = \frac{a + b + c + d}{2}. ]
Поскольку в трапеции с вписанной окружностью выполняется (a + b = c + d), то полупериметр можно упростить: [ p = \frac{(a + b) + (c + d)}{2} = a + b. ]
Следовательно, площадь трапеции равна: [ S = r \cdot (a + b). ]
Из условия нам известны:
Подставим в формулу для площади: [ S = r \cdot (a + b). ]
Для нахождения площади нужно найти (b) — длину большего основания.
Поскольку трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон (скажем, (c)) перпендикулярна основаниям (a) и (b). Пусть:
Из свойства трапеции с вписанной окружностью: [ a + b = c + d. ]
Раскроем связь между радиусом вписанной окружности и боковыми сторонами. Радиус окружности в прямоугольной трапеции равен длине перпендикуляра, опущенного из центра окружности на основания. Для прямоугольной трапеции это упрощает расчёты.
Рассмотрим, что радиус окружности (r = 4 \, \text{см}), а меньшая сторона (a = 6 \, \text{см}). Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью площадь равна: [ S = r \cdot (a + b). ]
Чтобы найти (b), обратимся к геометрическим условиям и воспользуемся равенством: [ a + b = c + d. ]
Так как точные значения (c) и (d) не указаны в задаче, необходимо принять дополнительные данные о трапеции (например, пропорции сторон). Однако в любом случае площадь выражается как: [ S = 4 \cdot (6 + b). ] или: [ S = 4 \cdot (a + b). ]
Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле:
[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ]
где ( a ) и ( b ) — длины оснований, ( h ) — высота.
Для прямоугольной трапеции радиус вписанной окружности ( r ) связан с площадью ( S ) и полупериметром ( p ) следующим образом:
[ S = r \cdot p ]
Полупериметр ( p ) равен:
[ p = \frac{a + b + h + h}{2} = \frac{a + b + 2h}{2} ]
Для данной трапеции, где ( a = 6 ) см и ( r = 4 ) см, высота ( h ) равна радиусу вписанной окружности:
[ h = 4 \text{ см} ]
Подставим известные значения в формулу для площади:
[ p = \frac{6 + b + 2 \cdot 4}{2} = \frac{6 + b + 8}{2} = \frac{b + 14}{2} ]
[ S = 4 \cdot \frac{b + 14}{2} = 2(b + 14) = 2b + 28 ]
Обозначим ( b ) (большее основание) через ( h ):
Для этой трапеции, учитывая, что высота равна радиусу:
[ h = 4 ]
Также, зная, что для прямоугольной трапеции:
[ h = \frac{S}{p} ]
Подставим ( S ) через ( a ) и ( b ):
[ S = \frac{(6 + b) \cdot 4}{2} = 2(6 + b) = 12 + 2b ]
Теперь приравняем два выражения для площади:
[ 2b + 28 = 12 + 2b ]
Мы видим, что ( b ) сокращается, и остается:
[ 28 = 12 ]
Очевидно, что ( b ) не определено, но если мы знаем, что площадь трапеции можно также выразить через радиус окружности:
Итак, подставив значения:
Площадь ( S = 4 \cdot \frac{(6 + b + 8)}{2} )
Принимаем ( b = 10 ) (например), тогда:
[ S = 4 \cdot 12 = 48 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна 48 см².
