Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 10 см. Меньшая боковая сторона равна 14...

Для нахождения площади прямоугольной трапеции, необходимо использовать свойства данной фигуры. В условии говорится, что у нас есть прямоугольная трапеция с меньшим основанием ( AB = 10 ) см, меньшей боковой стороной ( BC = 14 ) см и углом ( \angle ADC = 45^\circ ).

Шаг 1: Описание и обозначение

Пусть ( ABCD ) — наша прямоугольная трапеция, где ( AB ) и ( CD ) — основания, ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны. Угол ( \angle ADC = 45^\circ ) означает, что боковая сторона ( AD ) наклонена под углом ( 45^\circ ) к основанию ( CD ), и угол ( \angle BCD = 90^\circ ) так как трапеция прямоугольная.

Шаг 2: Найти высоту трапеции

1. Так как ( \angle ADC = 45^\circ ), треугольник ( ACD ) является прямоугольным и равнобедренным (так как ( \angle ACD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ )).
2. Следовательно, ( AC = AD ).
3. Высота ( h = AC ) также равна ( AD \cdot \sin(45^\circ) = \frac{AD}{\sqrt{2}} ).

В треугольнике ( ACD ), если мы опустим высоту ( h ) на основание ( CD ), то ( AC = AD = h \cdot \sqrt{2} ). Но поскольку ( AD = BC = 14 ) см, то можем найти ( h ): [ h = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \text{ см}. ]

Шаг 3: Найти большее основание

Так как треугольник ( ACD ) равнобедренный и прямоугольный, то ( CD = AC + AD = h + h = 7\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2} ).

Шаг 4: Найти площадь трапеции

Площадь ( S ) трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}. ]

Подставим известные значения: [ S = \frac{(10 + 14\sqrt{2}) \cdot 7\sqrt{2}}{2}. ]

Выполним расчет: [ S = \frac{(10 + 14\sqrt{2}) \cdot 7\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 7\sqrt{2} + 14\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}}{2}. ]

Упростим: [ S = \frac{70\sqrt{2} + 98 \cdot 2}{2} = \frac{70\sqrt{2} + 196}{2}. ]

Итак, окончательная площадь трапеции: [ S = 35\sqrt{2} + 98 \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь данной прямоугольной трапеции составляет ( 35\sqrt{2} + 98 \text{ см}^2 ).

Для нахождения площади прямоугольной трапеции используем формулу: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Из условия задачи имеем: Меньшее основание a = 10 см, большее основание b = 14 см. Угол между большим основанием и боковой стороной ∡45°.

Таким образом, для нахождения высоты трапеции h, воспользуемся тригонометрическими свойствами прямоугольного треугольника, который образуется от большего основания трапеции: tg(45°) = h / (b - a) tg(45°) = h / (14 - 10) tg(45°) = h / 4 h = 4 tg(45°) h = 4 1 h = 4 см

Теперь можем подставить все значения в формулу для площади трапеции: S = ((10 + 14) / 2) 4 S = (24 / 2) 4 S = 12 * 4 S = 48 см²

Ответ: площадь прямоугольной трапеции равна 48 см².