Дан треугольник АВС. Сумма сторон АВ и ВС равна 91 см, а биссектриса, проведенная к АС, делит эту сторону...

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) с данными условиями: сумма сторон ( AB + BC = 91 ) см, а биссектриса ( BD ), проведенная к стороне ( AC ), делит ее в отношении ( AD:DC = 5:8 ).

По теореме о биссектрисе в треугольнике, отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению длин прилежащих сторон. То есть:

[ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{5}{8} ]

Обозначим ( AB = 5x ) и ( BC = 8x ), где ( x ) — некоторая положительная величина. Из условия, что сумма ( AB + BC = 91 ), получаем уравнение:

[ 5x + 8x = 91 ]

[ 13x = 91 ]

Решая это уравнение, найдем ( x ):

[ x = \frac{91}{13} = 7 ]

Теперь подставим найденное значение ( x ) в выражения для ( AB ) и ( BC ):

[ AB = 5x = 5 \times 7 = 35 \, \text{см} ]

[ BC = 8x = 8 \times 7 = 56 \, \text{см} ]

Таким образом, длины сторон ( AB ) и ( BC ) равны 35 см и 56 см соответственно.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой биссектрисы в треугольнике. Пусть точка D - точка пересечения биссектрисы треугольника ABC с стороной AC. Тогда можно составить следующие уравнения:

1. По условию задачи, АD:DC = 5:8. Представим это в виде уравнения: AD = 5x, DC = 8x, где x - общий множитель.

2. Так как AD - биссектриса, то BD тоже является биссектрисой, следовательно, AB:BC = AD:DC = 5:8. Значит, AB = 5y, BC = 8y, где y - общий множитель.

3. Также из условия задачи известно, что AB + BC = 91 см. Поэтому имеем уравнение: 5y + 8y = 91, 13y = 91, y = 7.

Теперь можем найти длины сторон AB и BC: AB = 5y = 57 = 35 см, BC = 8y = 87 = 56 см.

Итак, получаем, что AB = 35 см, BC = 56 см.