Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С прямой, катет ВС равен 6 см и угол А=60. градусов....

Для решения задач по треугольнику АВС, где угол С прямой $90градусов$, катет ВС равен 6 см, и угол А равен 60 градусов, используем известные свойства треугольников и тригонометрические функции.

а) Найдём остальные стороны треугольника АВС

1. Найдём длину второго катета АС: Угол А равен 60 градусов, и мы знаем, что в прямоугольном треугольнике отношение катета, лежащего напротив угла, к гипотенузе равно синусу этого угла.

   $\sin ({60}^{\circ })=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{ВС}{AB}$

   Используем значение $\sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2}):

   $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB}$

   Отсюда:

   $AB=\frac{6\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6.93\text{ см}$

2. Найдём длину катета АС: В треугольнике ABC, угол B равен 30 градусов $90-60$. Используем косинус угла А, который равен 60 градусов:

   $\cos ({60}^{\circ })=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{AC}{AB}$

   Используем значение $\cos ({60}^{\circ }$ = \frac{1}{2}):

   $\frac{1}{2}=\frac{AC}{4\sqrt{3}}$

   Отсюда:

   $AC=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}\approx 3.46\text{ см}$

б) Найдём площадь треугольника АВС

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

$S=\frac{1}{2}\cdot {\text{катет}}_1\cdot {\text{катет}}_2$

Подставляем длины катетов:

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10.39{\text{ см}}^2$

в) Найдём длину высоты, опущенной из вершины С

Высота, опущенная из вершины С, будет равна высоте в прямоугольном треугольнике, проведённой к гипотенузе. Формула для высоты $h_c$, опущенной на гипотенузу $AB$, в прямоугольном треугольнике, выражается так:

$h_c=\frac{{\text{катет}}_1\cdot {\text{катет}}_2}{\text{гипотенуза}}$

Подставляем известные значения:

$h_c=\frac{6\cdot 2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3\text{ см}$

Таким образом, остальные стороны треугольника ABC равны $AC=2\sqrt{3}\approx 3.46$ см и $AB=4\sqrt{3}\approx 6.93$ см. Площадь треугольника равна $6\sqrt{3}\approx 10.39$ см², а длина высоты, опущенной из вершины С, равна 3 см.

а) Остальные стороны треугольника АВС:

• Катет АВ = 6√3 см
• Гипотенуза AC = 12 см

б) Площадь треугольника АВС:

• S = $1/2$ AB BC = $1/2$ 6√3 6 = 18√3 кв.см

в) Длина высоты, опущенной из вершины С:

• h = AC sin$60°$ = 12 √3 / 2 = 6√3 см

а) Из условия угла А = 60 градусов следует, что угол В = 90 - 60 = 30 градусов. Так как угол С прямой, то сумма углов треугольника равна 180 градусов: 60 + 30 + угол С = 180, откуда угол С = 90 градусов.

Теперь можем найти остальные стороны треугольника АВС. По теореме синусов:

BC/sin$60$ = AC/sin$30$ = AB/sin$90$

AC = BC sin$60$ / sin$30$ = 6 sqrt$3$ / 0.5 = 12√3 см

AB = BC sin$90$ / sin$30$ = 6 1 / 0.5 = 12 см

б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (BC AC) / 2 = (6 12√3) / 2 = 36√3 кв.см

в) Длина высоты, опущенной из вершины С, равна произведению катета, прилегающего к углу С, на синус угла С: h = BC sin$60$ = 6 0.5 = 3 см