Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С прямой, катет ВС равен 6 см и угол А=60. градусов....

Для решения задач по треугольнику АВС, где угол С прямой (90 градусов), катет ВС равен 6 см, и угол А равен 60 градусов, используем известные свойства треугольников и тригонометрические функции.

а) Найдём остальные стороны треугольника АВС

1. Найдём длину второго катета АС: Угол А равен 60 градусов, и мы знаем, что в прямоугольном треугольнике отношение катета, лежащего напротив угла, к гипотенузе равно синусу этого угла.

   [ \sin(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{ВС}{AB} ]

   Используем значение (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}):

   [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AB} ]

   Отсюда:

   [ AB = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см} ]

2. Найдём длину катета АС: В треугольнике ABC, угол B равен 30 градусов (90 - 60). Используем косинус угла А, который равен 60 градусов:

   [ \cos(60^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} ]

   Используем значение (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}):

   [ \frac{1}{2} = \frac{AC}{4\sqrt{3}} ]

   Отсюда:

   [ AC = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ см} ]

б) Найдём площадь треугольника АВС

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 ]

Подставляем длины катетов:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ см}^2 ]

в) Найдём длину высоты, опущенной из вершины С

Высота, опущенная из вершины С, будет равна высоте в прямоугольном треугольнике, проведённой к гипотенузе. Формула для высоты (h_c), опущенной на гипотенузу (AB), в прямоугольном треугольнике, выражается так:

[ h_c = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{\text{гипотенуза}} ]

Подставляем известные значения:

[ h_c = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 3 \text{ см} ]

Таким образом, остальные стороны треугольника ABC равны (AC = 2\sqrt{3} \approx 3.46) см и (AB = 4\sqrt{3} \approx 6.93) см. Площадь треугольника равна (6\sqrt{3} \approx 10.39) см², а длина высоты, опущенной из вершины С, равна 3 см.

а) Остальные стороны треугольника АВС:

• Катет АВ = 6√3 см
• Гипотенуза AC = 12 см

б) Площадь треугольника АВС:

• S = (1/2) AB BC = (1/2) 6√3 6 = 18√3 кв.см

в) Длина высоты, опущенной из вершины С:

• h = AC sin(60°) = 12 √3 / 2 = 6√3 см

а) Из условия угла А = 60 градусов следует, что угол В = 90 - 60 = 30 градусов. Так как угол С прямой, то сумма углов треугольника равна 180 градусов: 60 + 30 + угол С = 180, откуда угол С = 90 градусов.

Теперь можем найти остальные стороны треугольника АВС. По теореме синусов:

BC/sin(60) = AC/sin(30) = AB/sin(90)

AC = BC sin(60) / sin(30) = 6 sqrt(3) / 0.5 = 12√3 см

AB = BC sin(90) / sin(30) = 6 1 / 0.5 = 12 см

б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (BC AC) / 2 = (6 12√3) / 2 = 36√3 кв.см

в) Длина высоты, опущенной из вершины С, равна произведению катета, прилегающего к углу С, на синус угла С: h = BC sin(60) = 6 0.5 = 3 см