Дан прямоугольник ABCD. АВ : AD = 1 : 3. АН - высота треугольника BAD. Площадь треугольника АВН равна...

Рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB – одна из его сторон, а AD – другая. По условию, соотношение AB : AD = 1 : 3. Это значит, что если длина стороны AB равна ( x ), то длина стороны AD равна ( 3x ).

Теперь найдем площадь треугольника BAD. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ]

В данном случае основанием будет сторона AB, а высотой – высота AH, проведенная из вершины A к стороне BD.

Площадь треугольника BAD можно записать как:

[ S_{BAD} = \frac{1}{2} \times AB \times AH = \frac{1}{2} \times x \times AH ]

Согласно условию, площадь треугольника ABH равна 1:

[ S_{ABH} = \frac{1}{2} \times AB \times AH = 1 ]

Подставим известные значения в уравнение:

[ \frac{1}{2} \times x \times AH = 1 ]

Умножим обе стороны на 2:

[ x \times AH = 2 ]

Отсюда можно выразить высоту AH через ( x ):

[ AH = \frac{2}{x} ]

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

[ S_{ABCD} = AB \times AD = x \times 3x = 3x^2 ]

Теперь подставим значение ( AH ) в площадь треугольника BAD:

[ S_{BAD} = \frac{1}{2} \times x \times \frac{2}{x} = 1 ]

Площадь треугольника BAD равна 1, что соответствует выражению:

[ S_{BAD} = \frac{1}{2} \times x \times \frac{2}{x} = 1 ]

Это подтверждает, что ( AH = \frac{2}{x} ) правильно. Теперь подставим значение ( x ) в уравнение для площади прямоугольника:

Так как ( S_{BAD} = 1 ), можно выразить ( x ):

[ x \times AH = 2 \implies x = 2 / AH ]

Теперь подставим ( AH ):

[ S_{ABCD} = 3x^2 ]

Используя ( AH = \frac{2}{x} ), подставим обратно в уравнение:

Так как ( S_{ABCD} = 3x^2 ) и ( x = 2 / AH ), получаем:

[ S_{ABCD} = 3 \left( \frac{2}{AH} \right)^2 ]

Поскольку ( AH = \frac{2}{x} ), подставим:

Получаем, что площадь ABCD равна:

[ S_{ABCD} = 3 \cdot \left( \frac{2}{\frac{2}{x}} \right)^2 = 3 \cdot x^2 ]

Согласно условию, площадь треугольника BAD равна 1:

Таким образом, мы можем утверждать, что площадь прямоугольника ABCD равна:

[ S_{ABCD} = 3 \cdot 2 = 6 ]

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 6.

Чтобы найти площадь прямоугольника ( ABCD ), давайте разберёмся шаг за шагом, используя заданные данные.

Дано:

• Прямоугольник ( ABCD ).
• Отношение сторон ( AB : AD = 1 : 3 ), где ( AB ) — это ширина прямоугольника, а ( AD ) — его длина.
• ( AH ) — высота треугольника ( \triangle BAD ), опущенная из вершины ( A ) на сторону ( BD ) (диагональ прямоугольника).
• Площадь ( \triangle ABH = 1 ).

Нужно найти площадь прямоугольника ( ABCD ).

Шаг 1. Обозначим стороны прямоугольника

Обозначим:

• ( AB = x ) — ширина прямоугольника,
• ( AD = 3x ) — длина прямоугольника (так как ( AB : AD = 1 : 3 )).

Площадь прямоугольника ( S{\text{ABCD}} ) выражается как: [ S{\text{ABCD}} = AB \cdot AD = x \cdot 3x = 3x^2. ]

Шаг 2. Выразим высоту ( AH ) в треугольнике ( \triangle ABH )

Заметим, что площадь треугольника ( \triangle ABH ) равна: [ S_{\triangle ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH. ]

Подставим значения: [ 1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH. ]

Так как ( AB = x ), уравнение становится: [ 1 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot AH. ]

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2 = x \cdot AH. ]

Выразим ( AH ): [ AH = \frac{2}{x}. ]

Шаг 3. Связь высоты ( AH ) с диагональю ( BD )

Диагональ ( BD ) прямоугольника рассчитывается по теореме Пифагора: [ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}. ]

Подставим ( AB = x ) и ( AD = 3x ): [ BD = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = x\sqrt{10}. ]

Высота ( AH ) опущена на диагональ ( BD ). В треугольнике ( \triangle BAD ) высота ( AH ) делит сторону ( BD ) на два треугольника, и её можно выразить через площадь ( \triangle BAD ). Площадь ( \triangle BAD ) равна половине площади прямоугольника ( ABCD ): [ S{\triangle BAD} = \frac{1}{2} \cdot S{\text{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2}. ]

Площадь ( \triangle BAD ) также равна: [ S_{\triangle BAD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH. ]

Подставим значения: [ \frac{3x^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot x\sqrt{10} \cdot AH. ]

Сократим на ( \frac{1}{2} ): [ 3x^2 = x\sqrt{10} \cdot AH. ]

Выразим ( AH ): [ AH = \frac{3x^2}{x\sqrt{10}} = \frac{3x}{\sqrt{10}}. ]

Шаг 4. Сравниваем два выражения для ( AH )

С одной стороны, мы ранее нашли, что ( AH = \frac{2}{x} ). С другой стороны, ( AH = \frac{3x}{\sqrt{10}} ). Приравняем эти два выражения: [ \frac{2}{x} = \frac{3x}{\sqrt{10}}. ]

Умножим обе части уравнения на ( x ) и ( \sqrt{10} ), чтобы избавиться от дробей: [ 2\sqrt{10} = 3x^2. ]

Выразим ( x^2 ): [ x^2 = \frac{2\sqrt{10}}{3}. ]

Шаг 5. Найдём площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна: [ S_{\text{ABCD}} = 3x^2. ]

Подставим ( x^2 = \frac{2\sqrt{10}}{3} ): [ S_{\text{ABCD}} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3}. ]

Сократим тройки: [ S_{\text{ABCD}} = 2\sqrt{10}. ]

Ответ:

Площадь прямоугольника ( ABCD ) равна: [ \boxed{2\sqrt{10}} ]