Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда , равный:...

Для начала напомним, что параллелепипед — это многогранник, у которого все грани — параллелограммы. Вершины параллелепипеда обозначены как А, В, С, D, А₁, В₁, С₁ и D₁, где верхние вершины связаны с нижними посредством ребер (например, А с А₁, В с В₁ и так далее).

а) Найдем вектор, равный сумме векторов A₁B₁, ВС, DD₁ и CD.

1. Рассмотрим вектор A₁B₁. Этот вектор соединяет вершины A₁ и B₁, и его направление совпадает с направлением ребра A₁B₁.

2. Вектор ВС соединяет вершины B и C.

3. Вектор DD₁ соединяет вершины D и D₁.

4. Вектор CD соединяет вершины C и D.

Теперь сложим эти векторы:

A₁B₁ + BC + DD₁ + CD.

Для удобства можно представить векторы на координатной плоскости. Вектор A₁B₁ можно представить как параллельный вектору AB, так как они имеют одинаковую длину и направление. Вектор BC соединяет вершины B и C, что также параллельно ребру AD (если рассматривать плоскость ABCD). Вектор DD₁ параллелен вектору AA₁, так как они соединяют нижние и верхние вершины параллелепипеда. Вектор CD соединяет вершины C и D, и также параллелен вектору AB.

Если сложить эти векторы, мы получим:

A₁B₁ + BC + DD₁ + CD = AB + BC + AD + CD = AC + AD = A₁D₁.

Таким образом, результирующий вектор равен вектору A₁D₁.

б) Найдем вектор, равный разности векторов AB и CC₁.

1. Вектор AB соединяет вершины A и B.

2. Вектор CC₁ соединяет вершины C и C₁.

Теперь вычтем векторы:

AB - CC₁.

Известно, что вектор CC₁ параллелен вектору AA₁ и равен ему по длине, так как они соединяют соответствующие вершины нижнего и верхнего основания параллелепипеда.

Таким образом, вектор AB - CC₁ можно представить как вектор, соединяющий вершины B и C₁, так как мы перемещаемся на вектор AB и затем вычитаем вектор CC₁, что эквивалентно перемещению из вершины B в вершину C₁.

Итак, результирующий вектор равен вектору BC₁.

а) Для вектора А1В1 воспользуемся координатами вершин параллелепипеда: А1( x1, y1, z1), B1( x1, y2, z1) Вектор А1В1 = B1 - A1 = ( x1 - x1, y2 - y1, z1 - z1) = (0, y2 - y1, 0)

Для вектора ВС: B( x2, y2, z2), C( x2, y2, z1) Вектор ВС = C - B = ( x2 - x2, y2 - y2, z1 - z2) = (0, 0, z1 - z2)

Для вектора DD1: D( x1, y2, z2), D1( x2, y1, z2) Вектор DD1 = D1 - D = ( x2 - x1, y1 - y2, z2 - z2) = (x2 - x1, y1 - y2, 0)

Для вектора CD: C( x2, y2, z1), D( x1, y2, z2) Вектор CD = D - C = ( x1 - x2, y2 - y2, z2 - z1) = (x1 - x2, 0, z2 - z1)

Теперь сложим все полученные вектора: А1В1 + ВС + DD1 + CD = (0, y2 - y1, 0) + (0, 0, z1 - z2) + (x2 - x1, y1 - y2, 0) + (x1 - x2, 0, z2 - z1) = (x2 - x1, y2 - y1, z1 - z2) + (x1 - x2, y1 - y2, z2 - z1) = (x2 - x1 + x1 - x2, y2 - y1 + y1 - y2, z1 - z2 + z2 - z1) = (0, 0, 0)

Таким образом, вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный А1В1 + ВС + DD1 + CD, равен нулевому вектору.

б) Для вектора АВ: A( x1, y1, z1), B( x2, y2, z2) Вектор АВ = B - A = ( x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

Для вектора СС1: C( x2, y2, z1), C1( x1, y1, z2) Вектор СС1 = C1 - C = ( x1 - x2, y1 - y2, z2 - z1)

Теперь вычтем вектор СС1 из вектора АВ: АВ - СС1 = ( x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) - ( x1 - x2, y1 - y2, z2 - z1) = ( x2 - x1 - x1 + x2, y2 - y1 - y1 + y2, z2 - z1 - z2 + z1) = (2(x2 - x1), 2(y2 - y1), 0)

Таким образом, вектор с началом в вершине А и концом в вершине В, вычитая из него вектор с началом в вершине С и концом в вершине C1, равен (2(x2 - x1), 2(y2 - y1), 0).