Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.Найдите сумму векторов. а)АВ+В1С1+DD1+CD. б)BA+AC+CB+DC+DA.

а) Сумма векторов АВ+В1С1+DD1+CD равна нулю. б) Сумма векторов BA+AC+CB+DC+DA равна нулю.

В задаче нам дан параллелепипед ( ABCD A_1B_1C_1D_1 ), и требуется найти сумму определённых векторов.

Часть а)

Векторы, которые нужно сложить:

1. ( \overrightarrow{AB} )
2. ( \overrightarrow{B_1C_1} )
3. ( \overrightarrow{DD_1} )
4. ( \overrightarrow{CD} )

Теперь проанализируем каждый вектор:

• ( \overrightarrow{AB} ) — это вектор, направленный от точки ( A ) к точке ( B ).
• ( \overrightarrow{B_1C_1} ) — это вектор, направленный от точки ( B_1 ) к точке ( C_1 ). В параллелепипеде, точки ( B_1 ) и ( C_1 ) являются верхними вершинами и параллельны ( \overrightarrow{BC} ).
• ( \overrightarrow{DD_1} ) — это вектор, направленный от точки ( D ) к точке ( D_1 ), он вертикален и равен вектору ( \overrightarrow{AA_1} ).
• ( \overrightarrow{CD} ) — это вектор, направленный от точки ( C ) к точке ( D ).

Сложим векторы:

[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD} ]

Обратите внимание, что:

[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} ]

Итак, учитывая, что ( \overrightarrow{AD} ) и ( \overrightarrow{AA_1} ) являются противоположными по направлению векторами, сумма будет равна нулю:

[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{0} ]

Таким образом, сумма векторов в части а) равна нулю.

Часть б)

Векторы, которые нужно сложить:

1. ( \overrightarrow{BA} )
2. ( \overrightarrow{AC} )
3. ( \overrightarrow{CB} )
4. ( \overrightarrow{DC} )
5. ( \overrightarrow{DA} )

Теперь проанализируем каждый вектор:

• ( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} )
• ( \overrightarrow{AC} )
• ( \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} )
• ( \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} )
• ( \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} )

Сложим векторы:

[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AD} ]

Здесь снова видим, что все векторы складываются в замкнутый контур. Сумма всех векторов, описывающих замкнутый контур, равна нулю.

Таким образом, сумма векторов в части б) также равна нулю.

a) Сумма векторов АВ + В1С1 + DD1 + CD равна вектору, соединяющему точку A с точкой D1. Для этого можно последовательно сложить векторы АВ + В1С1, В1С1 + DD1 и DD1 + CD.

b) Сумма векторов BA + AC + CB + DC + DA равна нулевому вектору, так как векторы, идущие от одной точки к другой и образующие замкнутый контур, в данном случае образуют замкнутый контур параллелепипеда, который имеет нулевую сумму всех своих сторон.