Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AC и DC1.

Угол между прямыми AC и DC1 равен 90 градусов.

Для решения данной задачи нам необходимо определить угол между диагоналями AC и DC1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

1. Определение точек и векторов:

   • В кубе каждое ребро имеет одинаковую длину. Пусть длина каждого ребра куба равна a.
   • Точки A, C, D и C1 имеют следующие координаты в пространстве (при условии, что A находится в начале координат, и рёбра куба расположены вдоль осей координат):
     • A(0, 0, 0)
     • C(a, a, 0)
     • D(a, 0, 0)
     • C1(a, a, a)

2. Нахождение векторов AC и DC1:

   • Вектор AC = C - A = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)
   • Вектор DC1 = C1 - D = (a - a, a - 0, a - 0) = (0, a, a)

3. Вычисление угла между векторами:

   • Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу, основанную на их скалярном произведении: [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} ]
   • Скалярное произведение векторов AC и DC1: [ \vec{AC} \cdot \vec{DC1} = (a, a, 0) \cdot (0, a, a) = 0a + aa + 0*a = a^2 ]
   • Модули векторов AC и DC1: [ |\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = a\sqrt{2}, \quad |\vec{DC1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2} ]
   • Подставляем в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} ]
   • Используя арккосинус, находим угол: [ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ]

Итак, угол между прямыми AC и DC1 в кубе ABCDA1B1C1D1 равен 60 градусам.

Для нахождения угла между прямыми AC и DC1 в кубе ABCDA1B1C1D1 необходимо рассмотреть треугольники ADC и DC1C1. Эти треугольники имеют общую сторону DC и общий угол D, так как точка D является общей вершиной. Таким образом, угол между прямыми AC и DC1 равен углу ADC плюс угол DC1C.

Для того чтобы найти угол ADC, можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть a - длина стороны куба. Тогда угол ADC можно найти по формуле:

cos(ADC) = (AD^2 + DC^2 - AC^2) / (2 AD DC)

Аналогично, угол DC1C можно найти по формуле:

cos(DC1C) = (DC1^2 + DC^2 - DC1C1^2) / (2 DC1 DC)

После нахождения косинусов углов ADC и DC1C можно найти их значения и сложить их, чтобы получить угол между прямыми AC и DC1.