Дан АВСD прямоугольник,с диоганалями ВD и AC,угол между ними 135°,AC=12,найти:S.

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь прямоугольника ABCD.

Известно, что прямоугольник является четырехугольником, у которого все углы прямые. Таким образом, угол между диагоналями ВD и AC равен 90 градусов. Из данного условия следует, что треугольники ABD и BCD являются прямоугольными.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD нам необходимо найти длины его сторон. Поскольку угол между диагоналями равен 135 градусов, то треугольники ABD и BCD являются равнобедренными. Таким образом, BD является медианой и высотой для треугольников ABD и BCD.

Исходя из свойств равнобедренных треугольников, мы можем найти длину стороны AB, которая равна 12 / √2 = 6√2. Также длина стороны BC равна AB, то есть 6√2.

Теперь, зная длины сторон прямоугольника ABCD, мы можем найти его площадь. S = AB BC = 6√2 6√2 = 72.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 72.

Для решения задачи найдем площадь прямоугольника (ABCD), используя данные о диагоналях и угле между ними.

1. Обозначения и свойства:

   • Пусть стороны прямоугольника (ABCD) будут (a) и (b).
   • Диагонали (AC) и (BD) равны, так как это прямоугольник, и пересекаются в точке (O), деля друг друга пополам.
   • Диагональ (AC = 12) (по условию).
   • Угол между диагоналями (AC) и (BD = 135^\circ).

2. Диагонали в прямоугольнике:

   • Длина диагонали в прямоугольнике находится по формуле: [ AC = BD = \sqrt{a^2 + b^2} ]
   • Из условия (AC = 12), значит: [ \sqrt{a^2 + b^2} = 12 \implies a^2 + b^2 = 144 ]

3. Связь через угол между диагоналями:

   • В прямоугольнике диагонали делятся на два равных треугольника. Угол между диагоналями даёт нам возможность использовать косинус угла.

   • Используем формулу для косинуса угла между векторами: [ \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

   • Из геометрии следует, что: [ AC \cdot BD \cdot \cos(135^\circ) = 2ab ] Подставим известные значения: [ 12 \cdot 12 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2ab ] Сократим и упростим: [ 144 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2ab \implies 144 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2ab ] [ 144 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2ab \implies -72\sqrt{2} = 2ab \implies ab = -36\sqrt{2} ]

4. Площадь прямоугольника:

   • Площадь (S) прямоугольника равна: [ S = ab = -36\sqrt{2} ]

Однако, поскольку площадь фигуры не может быть отрицательной, мы берем абсолютное значение: [ S = 36\sqrt{2} ]

Таким образом, площадь прямоугольника (ABCD) равна (36\sqrt{2}).