Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1,1) B(3,3) C(2,-2) D(-2,-1). Найдите синус...

Для начала найдем координаты векторов, образованных диагоналями четырехугольника ABCD. Пусть первая диагональ задается вектором AC = (x1, y1) = (2 - (-1), -2 - 1) = (3, -3), а вторая диагональ задается вектором BD = (x2, y2) = (-2 - 3, -1 - 3) = (-5, -4).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BD:

AC BD = (3 -5) + (-3 * -4) = -15 + 12 = -3

Далее найдем длины векторов AC и BD:

|AC| = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) |BD| = sqrt((-5)^2 + (-4)^2) = sqrt(25 + 16) = sqrt(41)

Теперь найдем косинус угла между диагоналями по формуле косинуса угла между векторами:

cos(theta) = (AC BD) / (|AC| |BD|) cos(theta) = -3 / (sqrt(18) * sqrt(41)) = -3 / sqrt(738)

И, наконец, найдем синус угла между диагоналями с помощью тригонометрического тождества:

sin(theta) = sqrt(1 - cos^2(theta)) = sqrt(1 - (-3 / sqrt(738))^2) = sqrt(1 - 9 / 738) = sqrt(729 / 738) = sqrt(1 / 738)

Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен sqrt(1 / 738).

Сначала найдем векторы диагоналей: Вектор AC = C - A = (2 - (-1), -2 - 1) = (3, -3) Вектор BD = D - B = (-2 - 3, -1 - 3) = (-5, -4)

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: AC BD = 3 -5 + (-3) * (-4) = -15 + 12 = -3

Длины векторов: |AC| = √(3^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18 |BD| = √((-5)^2 + (-4)^2) = √(25 + 16) = √41

Теперь найдем синус угла между диагоналями по формуле: sin(α) = |AC BD| / (|AC| |BD|) = |-3| / (√18 * √41) = 3 / (√738) = 3√738 / 738

Ответ: sin(α) = 3√738 / 738.

Для того чтобы найти синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD, сначала найдем векторы, соединяющие противоположные вершины, то есть векторы диагоналей AC и BD.

1. Координаты вектора AC: [ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (2 - (-1), -2 - 1) = (3, -3) ]

2. Координаты вектора BD: [ \vec{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (-2 - 3, -1 - 3) = (-5, -4) ]

Следующий шаг - найти синус угла между этими векторами. Для этого сначала найдем скалярное произведение векторов AC и BD: [ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (-5) + (-3) \cdot (-4) = -15 + 12 = -3 ]

Длины векторов AC и BD: [ |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ] [ |\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} ]

Теперь можно использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{-3}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-1}{\sqrt{82}} ]

Чтобы найти синус угла, воспользуемся связью между косинусом и синусом: [ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{-1}{\sqrt{82}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{82}} = \sqrt{\frac{81}{82}} ]

Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен ( \sqrt{\frac{81}{82}} ).